Definizione di Disequazione Irrazionale
Una disequazione si dice irrazionale quando in essa l’incognita compare sotto il segno di radice.
Le disequazioni contenenti un unico radicale possono essere sempre ridotte alle forme seguenti:
$$
\sqrt[n]{f(x)}>g(x) $$
$$
\sqrt[n]{f(x)}<g(x)
$$
dove $f(x)$ e $g(x)$ sono espressioni nell’incognita $x$.
Esempi svolti
Esempio 1
Risolvere la seguente disequazione irrazionale con indice dispari
$$
\sqrt[3]{x^3-2}-x>0
$$
Svolgimento
Il primo passo da fare è quello di isolare la radice al primo membro:
$$
\sqrt[3]{x^3-2}>x
$$
A questo punto si elevano al cubo entrambi i membri e otteniamo:
$$
x^3-2>x^3
$$
Semplificando otteniamo:
$$
-2>0
$$
La disequazione è impossibile.
Esempio 2
Risolvere la seguente disequazione con indice pari
$$
\sqrt{x^2-5 x+6}-x+1>0
$$
Svolgimento
Isoliamo il radicale al primo membro e otteniamo:
$$
\sqrt{x^2-5 x+6}>x-1
$$
Questa disequazione va risolta utilizzando i due sistemi
$$\begin{equation}
\begin{cases}
g(x) \geq 0\\f(x)>[g(x)]^2
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\vee$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
f(x) \geq 0\\g(x)<0
\end{cases}
\end{equation}$$
Quindi, sostituendo abbiamo:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x-1 \geq 0\\x^2-5 x+6>(x-1)^2
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\vee$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x-1 \geq 0\\x^2-5 x+6>(x-1)^2
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\vee$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x^2-5 x+6 \geq 0\\x-1<0
\end{cases}
\end{equation}$$
A questo punto risolviamo il primo sistema:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \geq 1 \\x^2-5 x+6>x^2-2 x+1
\end{cases}
\end{equation}$$
Svolgendo i calcoli abbiamo:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \geq 1 \\-5 x+2 x>1-6
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \geq 1\\-3 x>-5
\end{cases}
\end{equation}$$
Moltiplicando ambo i membri per – 1 e cambiando il verso della disequazione otteniamo:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \geq 1\\3 x<5
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \geq 1\\x<\frac{5}{3}
\end{cases}
\end{equation}$$
Le soluzioni sono:
$$
1 \leq x \leq \frac{5}{3}
$$
Ora risolviamo il secondo sistema che presenta una disequazione di secondo grado e una di primo grado:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x^2-5 x+6 \geq 0 \\x-1<0
\end{cases}
\end{equation}$$
Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, otteniamo le due soluzioni:
$$
x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}
$$
Svolgendo i calcoli abbiamo:
$$
x_1=\frac{5-1}{2} \rightarrow x_1=2
$$
$$
x_2=\frac{5+1}{2} \rightarrow x_2=3
$$
Poichè le radici sono reali e distinte e c’è concordanza tra a e il segno della disequazione, essa è verificata per valori esterni all’intervallo delle radici:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x \leq 2 \vee x \geq 3 \\x<1
\end{cases}
\end{equation}$$
II sistema è verificato per
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x<1 \\x<\frac{5}{3}
\end{cases}
\end{equation}$$
Risoluzione
Per risolvere le disequazioni irrazionali con radicale quadratico occorre fare alcune considerazioni:
E’ necessario che il radicando sia positivo o nullo, quindi dobbiamo porre:
$$
f(x) \geq 0
$$
Poichè $g(x)$ deve essere maggiore di una quantità positiva o nulla, è necessario che anche esso sia positivo. Quindi dobbiamo porre:
$$
g(x)>0
$$
La radice viene eliminata elevando al quadrato entrambi i membri.
Tutte queste osservazioni devono essere verificate contemporaneamente, quindi per risolvere le disequazioni irrazionali del tipo
$$
\sqrt[n]{f(x)}<g(x)
$$
possiamo impostare il seguente sistema:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
f(x) \geq 0\\g(x)>0 \\ f(x)<[g(x)]^2
\end{cases}
\end{equation}$$
Consideriamo le disequazioni irrazionali del tipo:
$$
\sqrt[n]{f(x)}>g(x)
$$
In questo caso dobbiamo porre le condizioni di esistenza del radicale e quindi:
$$
f(x) \geq 0
$$
A differenza del caso precedente, il secondo membro ora può essere positivo, nullo, ma anche negativo.
Se il secondo membro è positivo o nullo, è necessario elevare al quadrato entrambi i membri della disequazione; in caso contrario, se il secondo membro è negativo, la disequazione è soddisfatta per tutti i valori di $x$.
Le soluzioni della disequazione sono date quindi dall’unione di due sistemi:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
f(x) \geq 0\\g(x) \geq 0 \\ f(x)>[g(x)]^2
\end{cases}
\end{equation}$$
$$ \vee$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
f(x) \geq 0\\g(x)<0
\end{cases}
\end{equation}$$
Poichè la prima condizione è implicita nella terza, è possibile riscrivere i sistemi in questo modo:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
g(x) \geq 0\\f(x)>[g(x)]^2
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\vee$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
f(x) \geq 0\\g(x)<0
\end{cases}
\end{equation}$$
L’insieme delle soluzioni è dato dall’unione degli insiemi delle soluzioni
$$
S=S_1 \cup S_2
$$
Radicale con indice $\mathrm{n}$ dispari
Se l’indice $\mathrm{n}$ è dispari le disequazioni
$$
\sqrt[n]{f(x)}>g(x)
$$
e
$$
\sqrt[n]{f(x)}[g(x)]^n
$$
e
$$\begin{equation}
f(x)<[g(x)]^n
\end{equation}$$