Disequazioni Frazionarie

Definizione di Disequazione Frazionaria

Le disequazioni nelle quali l’incognita compare anche al denominatore si chiamano frazionarie (o razionali fratte). Si possono presentare in una delle seguenti forme:

N(x)D(x)>0N(x)D(x)<0 N(x)D(x)0N(x)D(x)0

N(x) è il numeratore eD(x) è il denominatore.


Esempi svolti

Risolvere la seguente disequazione frazionaria:

x25x+63x7<0

Svolgimento

La condizione di accettabilità delle soluzioni è:

3x70

3x7

x73

Studiamo il segno del numeratore al variare di x, stabilendo quando è positivo:
x25x+6>0

Essendo una disequazione di secondo grado, la risolviamo utilizzando il discriminante:

Δ=(5)24(6)(1)

Δ=2524=1

Il discriminante è positivo, quindi le soluzioni sono due:
x1=5+12

x1=3

e
x2=512

x2=2

Il numeratore è positivo quando:

x>3x<2

Rappresentiamo graficamente il segno del numeratore e denominatore al variare di x e determiniamo con segmenti verticali gli intervalli in cui risulta suddiviso il dominio della disequazione.

Ricaviamo il segno del quoziente dalla rappresentazione grafica, sulla base dei degni di NeD :

Dato che il verso della disequazione è < (negativo), dobbiamo considerare gli intervalli in cui il segno è negativo.

Quindi le soluzioni sono:

S={73<x<2}{x>3}


Risoluzione

Per risolvere una disequazione lineare frazionaria si usa solitamente il seguente procedimento:

  1. Si scrive la disequazione nella forma normale:
    N(x)D(x)>0N(x)D(x)<0 N(x)D(x)0N(x)D(x)0
  1. Si stabiliscono le condizioni di accettabilità delle soluzioni, escludendo i valori di x per cui il denominatore risulta nullo;
  2. Si studia come variano il segno del numeratore ( N ) e il segno del denominatore (D) al variare di x, ottenendo così una suddivisione del dominio in intervalli;
  3. Si rappresentano graficamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
  4. Dalla rappresentazione grafica, applicando la regola dei segni della divisione, si ricava in ciascun intervallo il segno della frazione, sulla base dei segni del numeratore e del denominatore;
  5. Si determinano gli intervalli delle soluzioni della disequazione, tenendo conto del verso della disequazione stessa.
SOS Matematica

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