Definizione di Disequazione Frazionaria
Le disequazioni nelle quali l’incognita compare anche al denominatore si chiamano frazionarie (o razionali fratte). Si possono presentare in una delle seguenti forme:
$$
\begin{array}{ll}
\frac{N(x)}{D(x)}>0 & \frac{N(x)}{D(x)}<0 \
\frac{N(x)}{D(x)} \geq 0 & \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0
\end{array}
$$
$N(x)$ è il numeratore $e D(x)$ è il denominatore.
Esempi svolti
Risolvere la seguente disequazione frazionaria:
$$
\frac{x^2-5 x+6}{-3 x-7}<0
$$
Svolgimento
La condizione di accettabilità delle soluzioni è:
$$
-3 x-7 \neq 0 $$
$$-3 x \neq 7 $$
$$x \neq-\frac{7}{3}$$
Studiamo il segno del numeratore al variare di $x$, stabilendo quando è positivo:
$$
x^2-5 x+6>0
$$
Essendo una disequazione di secondo grado, la risolviamo utilizzando il discriminante:
$$
\Delta=(-5)^2-4 \cdot(6) \cdot(1) $$
$$\Delta=25-24=1
$$
Il discriminante è positivo, quindi le soluzioni sono due:
$$
x_1=\frac{5+1}{2} $$
$$x_1=3
$$
e
$$
x_2=\frac{5-1}{2} $$
$$x_2=2
$$
Il numeratore è positivo quando:
$$
x>3 \quad x<2
$$
Rappresentiamo graficamente il segno del numeratore e denominatore al variare di $x$ e determiniamo con segmenti verticali gli intervalli in cui risulta suddiviso il dominio della disequazione.
Ricaviamo il segno del quoziente dalla rappresentazione grafica, sulla base dei degni di $\mathrm{NeD}$ :
Dato che il verso della disequazione è < (negativo), dobbiamo considerare gli intervalli in cui il segno è negativo.
Quindi le soluzioni sono:
$$S=\left\{-\frac{7}{3}<x<2\right\} \cup \{x>3\}$$
Risoluzione
Per risolvere una disequazione lineare frazionaria si usa solitamente il seguente procedimento:
- Si scrive la disequazione nella forma normale:
$$
\begin{array}{ll}
\frac{N(x)}{D(x)}>0 & \frac{N(x)}{D(x)}<0 \
\frac{N(x)}{D(x)} \geq 0 & \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0
\end{array}
$$
- Si stabiliscono le condizioni di accettabilità delle soluzioni, escludendo i valori di $x$ per cui il denominatore risulta nullo;
- Si studia come variano il segno del numeratore ( $\mathrm{N}$ ) e il segno del denominatore (D) al variare di $x$, ottenendo così una suddivisione del dominio in intervalli;
- Si rappresentano graficamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
- Dalla rappresentazione grafica, applicando la regola dei segni della divisione, si ricava in ciascun intervallo il segno della frazione, sulla base dei segni del numeratore e del denominatore;
- Si determinano gli intervalli delle soluzioni della disequazione, tenendo conto del verso della disequazione stessa.