Disequazioni 2° Grado

Definizione di Disequazione di 2° Grado

Una disequazione di secondo grado si presenta, nella sua forma normale, come segue:

ax2+bx+c>0

ax2+bx+c<0


dove a, b, c sono numeri reali con a0.


Esempi svolti

Risolvere la sequente disequazione:

x2+4x3>0

Svolgimento

Per determinare i valori che verificano la disequazione, occorre prima di tutto calcolare i valori delle soluzioni. Per fare questo determiniamo il delta che sarà:

Δ=b24ac

Sostituendo i valori di a,b e c otteniamo:
Δ=424(1)(3)

Δ=1612=4

Poichè il discriminante è positivo, avremo 2 soluzioni.

Utilizziamo la formula:

x1,2=b±b24ac2a

Quindi, sostituendo i valori abbiamo che:
x1=4+42(1)

x1=4+22=22

x1=1

Mentre l’altra soluzione sarà:

x2=442(1)

x2=422=62

x2=3

Poichè il verso della disequazione è > (positivo) e il segno del coefficiente di x2 è negativo, si ha discordanza e pertanto la nostra disequazione è verificata solo per valori interni all’intervallo:

S=1<x<3


Risoluzione

Per risolvere una disequazione quadratica bisogna, prima di tutto, trovare le soluzioni dell’equazione associata, cioè della:

ax2+bx+c=0

Per trovare le soluzioni dell’equazione si utilizzano le seguenti formule:

x1=bΔ2a

x2=b+Δ2a

Dove Δ è il discriminante ed è:

Δ=b24ac

Si possono presentare i seguenti tre casi:

Primo Caso

Δ>0

Si hanno due soluzioni reali e distinte x1 e x2

Secondo Caso

Δ=0

Si hanno due soluzioni reali e coincidenti
x1=x2

Terzo Caso

Δ<0

Non si hanno soluzioni reali, l’equazione è impossibile.

Soluzioni

Per ogni valore di delta, positivo, negativo o uguale a zero esistono 2 soluzioni.

Delta Positivo Δ>0

ax2+bx+c>0

Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, le soluzioni sono per tutti i valori esterni:


In questo caso le soluzioni sono:
x<x1

e

x>x2


ax2+bx+c<0

Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, le soluzioni comprendono tutti i valori interni:

In questo caso le soluzioni sono:
x1<x<x2


Delta uguale a zero Δ=0

ax2+bx+c>0

Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa è verificata per tutti i valori di R eccetto il valore di x1 :

In questo caso le soluzioni sono:

xRx1

Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, la soluzione è uguale all’insieme vuoto, quindi la disequazione non è mai verificata:

S=


Delta Negativo Δ<0

Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa è verificata per tutti i valori di R :

xR

Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa non è mai verificata e la soluzione è uguale all’insieme vuoto:

S=

SOS Matematica

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