Definizione di Disequazione di 2° Grado
Una disequazione di secondo grado si presenta, nella sua forma normale, come segue:
$$ a x^2+b x+c>0 $$
$$ a x^2+b x+c<0$$
dove a, b, c sono numeri reali con $a \neq 0$.
Esempi svolti
Risolvere la sequente disequazione:
$$
-x^2+4 x-3>0
$$
Svolgimento
Per determinare i valori che verificano la disequazione, occorre prima di tutto calcolare i valori delle soluzioni. Per fare questo determiniamo il delta che sarà:
$$
\Delta=b^2-4 a c
$$
Sostituendo i valori di $\mathbf{a}, \mathrm{b}$ e c otteniamo:
$$
\Delta=4^2-4 \cdot(-1) \cdot(-3) $$
$$\Delta=16-12=4
$$
Poichè il discriminante è positivo, avremo 2 soluzioni.
Utilizziamo la formula:
$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$
Quindi, sostituendo i valori abbiamo che:
$$
x_1=\frac{-4+\sqrt{4}}{2 \cdot(-1)} $$
$$x_1=\frac{-4+2}{-2}=\frac{-2}{-2} $$
$$x_1=1
$$
Mentre l’altra soluzione sarà:
$$
x_2=\frac{-4-\sqrt{4}}{2 \cdot(-1)} $$
$$x_2=\frac{-4-2}{-2}=\frac{-6}{-2} $$
$$x_2=3
$$
Poichè il verso della disequazione è $>$ (positivo) e il segno del coefficiente di $x^2$ è negativo, si ha discordanza e pertanto la nostra disequazione è verificata solo per valori interni all’intervallo:
$$
S={1<x<3}
$$
Risoluzione
Per risolvere una disequazione quadratica bisogna, prima di tutto, trovare le soluzioni dell’equazione associata, cioè della:
$$
a x^2+b x+c=0
$$
Per trovare le soluzioni dell’equazione si utilizzano le seguenti formule:
$$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} $$
$$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$$
Dove $\Delta$ è il discriminante ed è:
$$
\Delta=b^2-4 a c
$$
Si possono presentare i seguenti tre casi:
Primo Caso
$$
\Delta>0
$$
Si hanno due soluzioni reali e distinte $x_1$ e $\mathrm{x}_2$
Secondo Caso
$$
\Delta=0
$$
Si hanno due soluzioni reali e coincidenti
$$
\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2
$$
Terzo Caso
$$
\Delta<0
$$
Non si hanno soluzioni reali, l’equazione è impossibile.
Soluzioni
Per ogni valore di delta, positivo, negativo o uguale a zero esistono 2 soluzioni.
Delta Positivo $\Delta>0$
$$
a x^2+b x+c>0
$$
Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, le soluzioni sono per tutti i valori esterni:
In questo caso le soluzioni sono:
$$x<x_1$$
e
$$x>x_2$$
$$a x^2+b x+c<0$$
Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, le soluzioni comprendono tutti i valori interni:
In questo caso le soluzioni sono:
$$
x_1<x<x_2
$$
Delta uguale a zero $\Delta=0$
$$
a x^2+b x+c>0
$$
Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa è verificata per tutti i valori di $R$ eccetto il valore di $\mathbf{x}_1$ :
In questo caso le soluzioni sono:
$$\begin{equation}
\forall x \in R-{{x_1}}
\end{equation}$$
Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, la soluzione è uguale all’insieme vuoto, quindi la disequazione non è mai verificata:
$$
S=\emptyset
$$
Delta Negativo $\Delta<0$
Se c’è concordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa è verificata per tutti i valori di $R$ :
$$
\forall x \in R
$$
Se c’è discordanza tra il coefficiente a e il verso della disequazione, questa non è mai verificata e la soluzione è uguale all’insieme vuoto:
$$
S=\emptyset
$$