Definizione di Disequazione Lineare
In algebra, una disequazione si dice lineare (o di $1^{\circ}$ Grado) quando è riconducibile alla forma:
$$
a_1 x_1+\cdots+a_n x_n>0
$$
oppure
$$
a_1 x_1+\cdots+a_n x_n<0
$$
Esempi svolti
Risolvere la seguente disequazione:
$$
(2 x+1)^2<6+ +(2 x-1)^2-3(1-2 x)
$$
Svolgimento
$$
4 x^2+1+4 x<6+4 x^2+1-4 x-3+6 x
$$
$$4 x+4 x-6 x<-1+ 6+1-3 $$
$$2 x<3 \rightarrow x<\frac{3}{2}$$
Primo Principio di Equivalenza delle Disequazioni
Addizionando o sottraendo ad ambedue i membri di una disequazione una stessa espressione si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni
Moltiplicando o dividendo ambedue i membri di una disequazione per una stessa espressione positiva si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Terzo Principio di Equivalenza delle Disequazioni
Moltiplicando o dividendo ambedue i membri di una disequazione per una stessa espressione negativa e cambiando il verso della disuguaglianza si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Formula Risolutiva
Risolvere una disequazione significa determinare l’insieme S dei valori dell’incognita che rendono vera la disuguaglianza.
Una disequazione lineare ad una incognita si può sempre ricondurre ad una delle seguenti forme:
$$
a x+b>0
$$
$$a x+b<0 $$
dove a e b sono numeri reali, con a positivo.
Sottraendo b ad entrambi i membri e dividendo per a si vede facilmente che le due disequazioni sono risolte, rispettivamente, da:
$$ x>-\frac{b}{a}$$
$$x<-\frac{b}{a}$$