Determinante

Definizione di Determinante

Se una matrice A è quadrata allora ad essa viene associato un numero detto determinante di A e si denota con det A oppure con |A|.


Esempi svolti

Esempio 1

Calcolare il determinante della seguente matrice:

A=[2454]

Svolgimento

Il determinante è:

detA=|2454|=(2)(4)(4)(5)

Svolgendo i calcoli otteniamo che il valore del determinante è:

detA=820=12


Esempio 2
Calcoliamo il determinante di una matrice di ordine 3 utilizzando la regola di Sarrus:

A=[014236511]

Svolgimento

II determinante sarà:

detA=|014236511|

Ora applichiamo la regola di Sarrus:

detA=

=[(0)(3)(1)+(1)(6)(5)+(4)(2)(1)]+

[(4)(3)(5)+(0)(6)(1)+(1)(2)(1)]

Svolgendo tutti i calcoli abbiamo che il determinante è:
detA=(30+8) (602) detA=22(62)=40


Esempio 3

Calcoliamo il determinante di una matrice 3×3 utilizzando la regola dei complementi algebrici:

A=[312145233]

Svolgimento

II determinante si calcola nel seguente modo: dalla matrice cancelliamo la prima riga e la prima colonna e moltiplichiamo il valore 3 per il determinante che si ottiene dalla matrice di ordine 2 .

Facciamo lo stesso per l’elemento della prima riga e seconda colonna (che è -1 perchè la somma degli indici è dispari) e terminiamo con il secondo elemento della prima riga e terza colonna (che è +2 perchè la somma degli indici è pari).

Otteniamo:

detA=3[4533]1[1523]+2[1423]

Svolgendo i calcoli abbiamo che il valore del determinante è:
detA=3(1215)1(310)+2(38)=12


Determinante di una matrice 2×2

II determinante si ottiene effettuando la differenza tra il prodotto dei termini della diagonale principale e il prodotto dei termini della diagonale secondarie.

In formule:

detA=|a11a12a21a22|


detA=a11a22a12a21


Determinante di una matrice 3×3

Possiamo calcolare il determinante di una matrice 3×3 in due modi differenti: attraverso la regola di Sarrus o mediante la regola dei complementi algebrici.


Regola di Sarrus

Questa regola ci dice che accanto al determinante della matrice quadrata A si scrivono le prime due colonne in modo tale da ottenere tre diagonali principali e tre diagonali secondaria. Il valore del determinante si ottiene dalla differenza tra la somma dei prodotti dei termini di ciascuna diagonale principale e la somma dei prodotti dei termini di ciascuna diagonale secondaria.

In formule:

detA

=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|(a11a12a21a22a31a32)

Svolgendo i calcoli abbiamo:

detA=a11a22a33+a12a23a31+

+a13a21a32a31a22a13a32a23a11+

a33a21a12


Regola con i complementari algebrici

Per calcolare il determinante di una matrice di ordine superiore al secondo si sceglie una linea (riga o colonna) e si fa la somma dei prodotti degli elementi della linea per i rispettivi complementi algebrici.

Questa regola viene utilizzata per calcolare il determinante di matrici di ordine superiore al terzo.

Ricordiamo che il complemento algebrico di un elemento qualunque è il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’ elemento in questione con il segno positivo se la somma degli indici riga e colonna è pari e segno negativo se tale somma è dispari.


Proprietà del Determinante

Prima Proprietà

Se una matrice ha una linea (riga o colonna) composta di zeri, il suo determinante è nullo.

Seconda Proprietà

Se due matrici A e B hanno due linee parallele scambiate fra loro,

detA=detB

Terza Proprietà

Se una matrice ha due linee parallele uguali, il suo determinante è zero.

Quarta Proprietà

In una matrice, la somma di prodotti di elementi di una linea per gli aggiunti di una linea parallela è zero.

Quinta Proprietà

Se si moltiplica una linea di una matrice per k il determinante è moltiplicato per k.

Sesta Proprietà

Se in una matrice, una linea è combinazione lineare di linee parallele, allora il suo determinante è nullo.

SOS Matematica

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