Definizione di Determinante
Se una matrice
Esempi svolti
Esempio 1
Calcolare il determinante della seguente matrice:
Svolgimento
Il determinante è:
Svolgendo i calcoli otteniamo che il valore del determinante è:
Esempio 2
Calcoliamo il determinante di una matrice di ordine 3 utilizzando la regola di Sarrus:
Svolgimento
II determinante sarà:
Ora applichiamo la regola di Sarrus:
Svolgendo tutti i calcoli abbiamo che il determinante è:
Esempio 3
Calcoliamo il determinante di una matrice
Svolgimento
II determinante si calcola nel seguente modo: dalla matrice cancelliamo la prima riga e la prima colonna e moltiplichiamo il valore 3 per il determinante che si ottiene dalla matrice di ordine 2 .
Facciamo lo stesso per l’elemento della prima riga e seconda colonna (che è -1 perchè la somma degli indici è dispari) e terminiamo con il secondo elemento della prima riga e terza colonna (che è +2 perchè la somma degli indici è pari).
Otteniamo:
Svolgendo i calcoli abbiamo che il valore del determinante è:
Determinante di una matrice
II determinante si ottiene effettuando la differenza tra il prodotto dei termini della diagonale principale e il prodotto dei termini della diagonale secondarie.
In formule:
Determinante di una matrice
Possiamo calcolare il determinante di una matrice
Regola di Sarrus
Questa regola ci dice che accanto al determinante della matrice quadrata
In formule:
Svolgendo i calcoli abbiamo:
Regola con i complementari algebrici
Per calcolare il determinante di una matrice di ordine superiore al secondo si sceglie una linea (riga o colonna) e si fa la somma dei prodotti degli elementi della linea per i rispettivi complementi algebrici.
Questa regola viene utilizzata per calcolare il determinante di matrici di ordine superiore al terzo.
Ricordiamo che il complemento algebrico di un elemento qualunque è il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’ elemento in questione con il segno positivo se la somma degli indici riga e colonna è pari e segno negativo se tale somma è dispari.
Proprietà del Determinante
Prima Proprietà
Se una matrice ha una linea (riga o colonna) composta di zeri, il suo determinante è nullo.
Seconda Proprietà
Se due matrici A e B hanno due linee parallele scambiate fra loro,
Terza Proprietà
Se una matrice ha due linee parallele uguali, il suo determinante è zero.
Quarta Proprietà
In una matrice, la somma di prodotti di elementi di una linea per gli aggiunti di una linea parallela è zero.
Quinta Proprietà
Se si moltiplica una linea di una matrice per
Sesta Proprietà
Se in una matrice, una linea è combinazione lineare di linee parallele, allora il suo determinante è nullo.