Determinante - SOS Matematica

Definizione di Determinante

Se una matrice $A$ è quadrata allora ad essa viene associato un numero detto determinante di A e si denota con $\operatorname{det}$ A oppure con $|A|$.

Esempi svolti

Esempio 1

Calcolare il determinante della seguente matrice:

$$A=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 5 & -4 \end{bmatrix} $$

Svolgimento

Il determinante è:

$$\operatorname{det} A=\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & -4 \end{vmatrix}=(-2) \cdot(-4)-(4) \cdot(5)$$

Svolgendo i calcoli otteniamo che il valore del determinante è:

$$
\operatorname{det} A=8-20=-12
$$

Esempio 2
Calcoliamo il determinante di una matrice di ordine 3 utilizzando la regola di Sarrus:

$$A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 2 & -3 & 6 \\5 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Svolgimento

II determinante sarà:

$$\operatorname{det} A=\begin{vmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

Ora applichiamo la regola di Sarrus:

$$\operatorname{det} A=$$

$$= [(0) \cdot(-3) \cdot(1) + (-1) \cdot(6) \cdot(5)+(4) \cdot(2) \cdot(1)]+$$

$$-[(4) \cdot(-3) \cdot(5)+(0) \cdot(6) \cdot(1)+(-1) \cdot(2) \cdot(1)]$$

Svolgendo tutti i calcoli abbiamo che il determinante è:
$$
\begin{gathered}
\operatorname{det} A=(-30+8) \
-(-60-2) \
\operatorname{det} A=-22-(-62)=40
\end{gathered}
$$

Esempio 3

Calcoliamo il determinante di una matrice $3 \times 3$ utilizzando la regola dei complementi algebrici:

$$A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$

Svolgimento

II determinante si calcola nel seguente modo: dalla matrice cancelliamo la prima riga e la prima colonna e moltiplichiamo il valore 3 per il determinante che si ottiene dalla matrice di ordine 2 .

Facciamo lo stesso per l’elemento della prima riga e seconda colonna (che è -1 perchè la somma degli indici è dispari) e terminiamo con il secondo elemento della prima riga e terza colonna (che è +2 perchè la somma degli indici è pari).

Otteniamo:

$$\begin{aligned} & \operatorname{det} A=3 \cdot\begin{bmatrix} 4 & 5 \\3 & 3 \end{bmatrix} -1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 5 \\2 & 3 \end{bmatrix}+ 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \\2 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Svolgendo i calcoli abbiamo che il valore del determinante è:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{det} A= & 3 \cdot(12-15)-1 \cdot(3-10)+ 2 \cdot(3-8)=-12
\end{aligned}
$$

Determinante di una matrice $2 \times 2$

II determinante si ottiene effettuando la differenza tra il prodotto dei termini della diagonale principale e il prodotto dei termini della diagonale secondarie.

In formule:

$$\operatorname{det} A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$

$$ \operatorname{det} A=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21} $$

Determinante di una matrice $3 \times 3$

Possiamo calcolare il determinante di una matrice $3 \times 3$ in due modi differenti: attraverso la regola di Sarrus o mediante la regola dei complementi algebrici.

Regola di Sarrus

Questa regola ci dice che accanto al determinante della matrice quadrata $A$ si scrivono le prime due colonne in modo tale da ottenere tre diagonali principali e tre diagonali secondaria. Il valore del determinante si ottiene dalla differenza tra la somma dei prodotti dei termini di ciascuna diagonale principale e la somma dei prodotti dei termini di ciascuna diagonale secondaria.

In formule:

$$\operatorname{det} A$$

$$=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \left(\begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right)$$

Svolgendo i calcoli abbiamo:

$$\operatorname{det} A= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} +a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+$$

$$ +a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} -a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} – a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11}+$$

$$-a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}$$

Regola con i complementari algebrici

Per calcolare il determinante di una matrice di ordine superiore al secondo si sceglie una linea (riga o colonna) e si fa la somma dei prodotti degli elementi della linea per i rispettivi complementi algebrici.

Questa regola viene utilizzata per calcolare il determinante di matrici di ordine superiore al terzo.

Ricordiamo che il complemento algebrico di un elemento qualunque è il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’ elemento in questione con il segno positivo se la somma degli indici riga e colonna è pari e segno negativo se tale somma è dispari.