I criteri di congruenza dei triangoli sono teoremi che consentono di stabilire se due triangoli qualsiasi sono congruenti, confrontando alcuni loro elementi.
Esempi svolti
Dati due triangoli
Dimostrare che, se
allora i due triangoli sono congruenti.
Svolgimento
Si procede confrontando i due triangoli ACM e A’C’M’.
Essi hanno:
per ipotesi
per ipotesi
I due triangoli risultano quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza ed hanno tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
Essendo
Si possono a questo punto confrontare i triangoli
Si può concludere che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio.
I criteri di congruenza dei triangoli affermano che è necessario conoscere la congruenza di almeno tre elementi.
Esistono 3 criteri di congruenza, di seguito illustrati.
Primo Criterio di Congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.
Viene anche definito LAL (Lato-AngoloLato)
Dimostrazione
Il primo passo da fare è quello di portare il punto
Se C coincide con
Poichè per ipotesi
Pertanto i vertici del triangolo
Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.
Viene anche definito ALA (Angolo-LatoAngolo)
Dimostrazione
Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi.
Supponiamo che i due triangoli non siano congruenti. Quindi
In particolare supponiamo che
Si può affermare che valgono le ipotesi del Primo Criterio di Congruenza
Per tale motivo, l’ipotesi fatta sulla non congruenza è falsa, e quindi i due triangoli sono congruenti.
Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Se due triangoli hanno congruenti rispettivamente tre lati, allora sono congruenti.
Viene anche definito LLL (Lato-Lato-Lato)
Dimostrazione
Ribaltiamo il triangolo
A questo punto uniamo il punto
Il punto D cade all’interno del segmento
Il triangolo
Dunque
perchè somma di angoli congruenti.
Consideriamo ora i triangoli
Allora il triangolo
per il Primo Criterio di Congruenza.