Criteri di Congruenza dei Triangoli

I criteri di congruenza dei triangoli sono teoremi che consentono di stabilire se due triangoli qualsiasi sono congruenti, confrontando alcuni loro elementi.


Esempi svolti

Dati due triangoli ABC e ABC, si traccino le mediane CM e CM relative, rispettivamente, ad AB e AB ‘.

Dimostrare che, se
CMCM

AC^MAC^M

AM^CAM^C
allora i due triangoli sono congruenti.

Svolgimento

IPOTESI

AMMB

AMMB

CMCM

AC^MAC^M

AM^CAM^C

TESI

ABCABC

Si procede confrontando i due triangoli ACM e A’C’M’.

Essi hanno:

CMCM  per ipotesi 

AC^MAC^M  per ipotesi 
per ipotesi
AM^CAM^C
per ipotesi

I due triangoli risultano quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza ed hanno tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AMAM

ACAC

A^A^

Essendo AB=2 AM e AB=2AM, dalla congruenza AMAM consegue AB AB,

Si possono a questo punto confrontare i triangoli ABC e ABC, che hanno

ABAB

ACAC

A^A^

Si può concludere che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio.


I criteri di congruenza dei triangoli affermano che è necessario conoscere la congruenza di almeno tre elementi.
Esistono 3 criteri di congruenza, di seguito illustrati.

Primo Criterio di Congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Viene anche definito LAL (Lato-AngoloLato)

IPOTESI

ACAC

BCBC

AC^BAC^B

TESI

ABCABC


Dimostrazione

Il primo passo da fare è quello di portare il punto C sul punto C in modo tale che la semiretta C’A’ sia sovrapposta alla semiretta CA e i punti B e B’ siano nello stesso semipiano individuato dalla retta AC.

Se C coincide con C anche A deve coincidere con A’. Per ipotesi gli angoli Y e Y ‘ sono congruenti, pertanto le due semirette passanti per CB e C’B’ devono sovrapporsi affinchè possano formare lo stesso angolo.

Poichè per ipotesi BCBC, il punto B dovrà necessariamente coincidere con B.

Pertanto i vertici del triangolo ABC si sovrappongono ai vertici del triangolo ABC e di conseguenza i due triangoli sono congruenti.


Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

Viene anche definito ALA (Angolo-LatoAngolo)

IPOTESI

ABAB

CA^BCA^B

AB^CAB^C

TESI

ABCABC


Dimostrazione

Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi.

Supponiamo che i due triangoli non siano congruenti. Quindi ACAC.

In particolare supponiamo che AC>AC, pertanto esisterà un punto D in AC tale che ADAC

Si può affermare che valgono le ipotesi del Primo Criterio di Congruenza ABC ABC, ma ciò non è possibile perchè

AB^D<AB^CAB^C

Per tale motivo, l’ipotesi fatta sulla non congruenza è falsa, e quindi i due triangoli sono congruenti.


Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Se due triangoli hanno congruenti rispettivamente tre lati, allora sono congruenti.

Viene anche definito LLL (Lato-Lato-Lato)

IPOTESI

ABAB

ACAC

BCBC

TESI

ABCABC


Dimostrazione

Ribaltiamo il triangolo ABC e portiamo il segmento AB sul segmento AB in modo tale che il punto A coincida con A, il punto B coincida con B (ciò è possibile perchè per ipotesi ABAB ) e che il punto C cada nel semipiano individuato dalla retta AB opposto a quello in cui si trova C.

A questo punto uniamo il punto C con C ‘.

Il punto D cade all’interno del segmento AB. Il triangolo CCB è isoscele, dunque
CC^BCC^B

Il triangolo ACC è isoscele, dunque
AC^CAC^C

Dunque

AC^BAC^B
perchè somma di angoli congruenti.
Consideriamo ora i triangoli ABC e ABC. Essi hanno
2x2

Allora il triangolo
ABCABC
per il Primo Criterio di Congruenza.

SOS Matematica

4.6
SCARICA