I criteri di congruenza dei triangoli sono teoremi che consentono di stabilire se due triangoli qualsiasi sono congruenti, confrontando alcuni loro elementi.
Esempi svolti
Dati due triangoli $A B C$ e $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, si traccino le mediane $\mathrm{CM}$ e $\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{M}^{\prime}$ relative, rispettivamente, ad $A B$ e $A^{\prime} B$ ‘.
Dimostrare che, se
$$
C M \cong C^{\prime} M^{\prime} $$
$$A \hat{C} M \cong A^{\prime} \hat{C}^{\prime} M^{\prime} $$
$$A \hat{M} C \cong A^{\prime} \hat{M}^{\prime} C^{\prime}
$$
allora i due triangoli sono congruenti.
Svolgimento
$$\textcolor{red}{IPOTESI}$$
$$A M \cong M B $$
$$A^{\prime} M^{\prime} \cong M^{\prime} B^{\prime} $$
$$C M \cong C^{\prime} M^{\prime} $$
$$A \hat{C} M \cong A^{\prime} \hat{C}^{\prime} M^{\prime} $$
$$A \hat{M} C \cong A^{\prime} \hat{M}^{\prime} C^{\prime} $$
$$\textcolor{red}{TESI}$$
$$A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$$
Si procede confrontando i due triangoli ACM e A’C’M’.
Essi hanno:
$$
\begin{gathered}
C M \cong C^{\prime} M^{\prime} \
\text { per ipotesi }
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
A \hat{C} M \cong A^{\prime} \hat{C}^{\prime} M^{\prime} \
\text { per ipotesi }
\end{gathered}
$$
per ipotesi
$$
A \hat{M} C \cong A^{\prime} \hat{M}^{\prime} C^{\prime}
$$
per ipotesi
I due triangoli risultano quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza ed hanno tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
$$
A M \cong A^{\prime} M^{\prime} $$
$$A C \cong A^{\prime} C^{\prime} $$
$$\hat{A} \cong \hat{A}^{\prime}
$$
Essendo $A B=2 \cdot$ AM e $A^{\prime} B^{\prime}=2 \cdot A^{\prime} M^{\prime}$, dalla congruenza $A M \cong A^{\prime} M^{\prime}$ consegue $A B \cong$ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$,
Si possono a questo punto confrontare i triangoli $A B C$ e $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, che hanno
$$ A B \cong A^{\prime} B^{\prime} $$
$$A C \cong A^{\prime} C^{\prime} $$
$$ \hat{A} \cong \hat{A}^{\prime}
$$
Si può concludere che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio.
I criteri di congruenza dei triangoli affermano che è necessario conoscere la congruenza di almeno tre elementi.
Esistono 3 criteri di congruenza, di seguito illustrati.
Primo Criterio di Congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.
Viene anche definito LAL (Lato-AngoloLato)
$$\textcolor{red}{IPOTESI}$$
$$
A C \cong A^{\prime} C^{\prime} $$
$$B C \cong B^{\prime} C^{\prime} $$
$$A \hat{C} B \cong A^{\prime} \hat{C}^{\prime} B^{\prime}
$$
$$\textcolor{red}{TESI}$$
$$
A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
Dimostrazione
Il primo passo da fare è quello di portare il punto $C^{\prime}$ sul punto $C$ in modo tale che la semiretta C’A’ sia sovrapposta alla semiretta CA e i punti B e B’ siano nello stesso semipiano individuato dalla retta AC.
Se C coincide con $C^{\prime}$ anche $A$ deve coincidere con A’. Per ipotesi gli angoli $Y$ e $Y$ ‘ sono congruenti, pertanto le due semirette passanti per CB e C’B’ devono sovrapporsi affinchè possano formare lo stesso angolo.
Poichè per ipotesi $B C \cong B^{\prime} C^{\prime}$, il punto $B^{\prime}$ dovrà necessariamente coincidere con $\mathrm{B}$.
Pertanto i vertici del triangolo $A B C$ si sovrappongono ai vertici del triangolo $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ e di conseguenza i due triangoli sono congruenti.
Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.
Viene anche definito ALA (Angolo-LatoAngolo)
$$\textcolor{red}{IPOTESI}$$
$$
A B \cong A^{\prime} B^{\prime} $$
$$C \hat{A} B \cong C^{\prime} \hat{A}^{\prime} B^{\prime} $$
$$A \hat{B} C \cong A^{\prime} \hat{B}^{\prime} C^{\prime}
$$
$$\textcolor{red}{TESI}$$
$$
A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
Dimostrazione
Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi.
Supponiamo che i due triangoli non siano congruenti. Quindi $A C \nRightarrow A^{\prime} C^{\prime}$.
In particolare supponiamo che $A C>A^{\prime} C^{\prime}$, pertanto esisterà un punto $D$ in $A C$ tale che $A D \cong A^{\prime} C^{\prime}$
Si può affermare che valgono le ipotesi del Primo Criterio di Congruenza $A B C \cong$ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, ma ciò non è possibile perchè
$$
A \hat{B} D<A \hat{B} C \cong A^{\prime} \hat{B}^{\prime} C^{\prime}
$$
Per tale motivo, l’ipotesi fatta sulla non congruenza è falsa, e quindi i due triangoli sono congruenti.
Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Se due triangoli hanno congruenti rispettivamente tre lati, allora sono congruenti.
Viene anche definito LLL (Lato-Lato-Lato)
$$\textcolor{red}{IPOTESI}$$
$$A B \cong A^{\prime} B^{\prime} $$
$$A C \cong A^{\prime} C^{\prime} $$
$$B C \cong B^{\prime} C^{\prime} $$
$$\textcolor{red}{TESI}$$
$$A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} $$
Dimostrazione
Ribaltiamo il triangolo $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ e portiamo il segmento $A^{\prime} B^{\prime}$ sul segmento $A B$ in modo tale che il punto $\mathrm{A}^{\prime}$ coincida con $\mathrm{A}$, il punto $B^{\prime}$ coincida con $B$ (ciò è possibile perchè per ipotesi $A B \cong A^{\prime} B^{\prime}$ ) e che il punto $C^{\prime}$ cada nel semipiano individuato dalla retta $A B$ opposto a quello in cui si trova C.
A questo punto uniamo il punto $\mathrm{C}$ con $\mathrm{C}$ ‘.
Il punto D cade all’interno del segmento $A B$. Il triangolo $C C^{\prime} B$ è isoscele, dunque
$$
C^{\prime} \hat{C} B \cong C \hat{C}^{\prime} B
$$
Il triangolo $\mathrm{ACC}^{\prime}$ è isoscele, dunque
$$
A \hat{C} C^{\prime} \cong A \hat{C}^{\prime} C
$$
Dunque
$$
A \hat{C} B \cong A \hat{C}^{\prime} B
$$
perchè somma di angoli congruenti.
Consideriamo ora i triangoli $A B C$ e $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Essi hanno
$$
2 x^2
$$
Allora il triangolo
$$
A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
per il Primo Criterio di Congruenza.