Definizione di Cono
Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.
Esempi svolti
L’altezza di un cono misura $16 \mathrm{~cm}$. II raggio di base misura $12 \mathrm{~cm}$.
Calcolare l’area totale e il volume del cono.
Svolgimento
Troviamo prima di tutto l’apotema, applicando la formula:
$$
a=\sqrt{h^2+r^2}
$$
$$
a=\sqrt{(12 \mathrm{~cm})^2+(16 \mathrm{~cm})^2} $$
$$a=\sqrt{144 \mathrm{~cm}^2+256 \mathrm{~cm}^2} $$
$$a=\sqrt{400 \mathrm{~cm}^2} $$
$$a=20 \mathrm{~cm}
$$
Troviamo la misura dell’area di base del cono, che essendo un cerchio sarà:
$$
A_b=3,14 \cdot(12 \mathrm{~cm})^2 $$
$$A_b=452,16 \mathrm{~cm}^2
$$
Ora calcoliamo l’area laterale, applicando la formula:
$$
A_L =\frac{2 \pi \cdot r \cdot a}{2} $$
$$A_L =\pi \cdot r \cdot a
$$
$$
A_L=(3,14 \cdot 12 \mathrm{~cm}) \cdot(20 \mathrm{~cm}) $$
$$A_L=37,68 \mathrm{~cm} \cdot 20 \mathrm{~cm} $$
$$A_L=753,6 \mathrm{~cm}^2
$$
A questo punto possiamo calcolare l’area totale, che è uguale alla somma dell’area di base e dell’area laterale:
$$
A_T=753,6 \mathrm{~cm}^2+452,16 \mathrm{~cm}^2 $$
$$A_T=1205,76 \mathrm{~cm}^2
$$
Come ultimo passaggio, calcoliamo il volume del cono che è pari a un terzo del prodotto dell’area di base del cono e dell’altezza:
$$
V=\frac{452,16 \mathrm{~cm}^2 \cdot 16 \mathrm{~cm}}{3} $$
$$V=\frac{7234,56 \mathrm{~cm}^3}{3} $$
$$V=2411,52 \mathrm{~cm}^3
$$
Cono Equilatero
Un cono equilatero è un particolare tipo di cono in cui la lunghezza dell’apotema coincide con la lunghezza del diametro della base.
Area Laterale
L’area laterale del cono si trova moltiplicando la circonferenza di base per la misura dell’apotema a e dividendo il prodotto ottenuto per due.
$$
A_L=\frac{2 \pi \cdot r \cdot a}{2} $$
$$A_L=\pi \cdot r \cdot a
$$
Area Totale
L’area totale del cono si trova aggiungendo all’area laterale, l’area del cerchio di base.
$$
A_T=\pi \cdot r \cdot a+\pi \cdot r^2
$$
Volume
Il volume è uguale ad un terzo del prodotto dell’area di base per l’altezza.
$$
V=\frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}
$$
Apotema
L’apotema del cono è il segmento che unisce il vertice del cono con un punto qualsiasi della circonferenza di base.
$$
a=\sqrt{h^2+r^2}
$$
Altezza
$$
h=\sqrt{a^2-r^2}
$$