Circonferenze nei Triangoli

Definizione di Circonferenza Circoscritta

La circonferenza circoscritta al triangolo si ottiene quando i vertici del triangolo giacciono sulla circonferenza data.


Definizione di Circonferenza Inscritta

La circonferenza inscritta in un triangolo si ottiene quando i lati del triangolo sono tangenti alla circonferenza data.


Definizione di Circonferenza Ex-inscritta

Una circonferenza ex-inscritta ad un triangolo è una circonferenza tangente ad un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.


Esempi svolti

Esempio 1

Determinare la misura del raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo avente i lati che misurano 28cm,17cm e 25cm.

Svolgimento

Per determinare il valore del raggio, utilizziamo la formula:

r=(pa)(pb)(pc)p

Prima di tutto calcoliamo il semiperimetro, che risulta essere:
p=28+17+252

p=702=35cm

A questo punto applichiamo la formula e avremo che:
r=781035 

Continuando i calcoli abbiamo:

r=126035

r=36=6cm

Possiamo concludere che il raggio della circonferenza circoscritta misura 6cm.



Esempio 2

In un triangolo isoscele la base è lunga 24 cm e il perimetro 64cm. Calcolare la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Svolgimento

Per prima cosa è necessario calcolare i lati del triangolo, poichè occorre utilizzare la seguente formula:
r=abc4A

I lati del triangolo si possono semplicemente calcolare togliendo dal perimetro il valore della base e dividendo per due il risultato (poichè i due lati sono uguali essendo il triangolo isoscele):

l=64242=20cm

A questo punto dobbiamo calcolare l’area del triangolo, ma necessitiamo dell’altezza, che è possibile determinare attraverso l’applicazione del teorema di Pitagora. I valori che ci interessano sono il lato obliquo che misura 20cm e la metà della base, cioè 12cm. Sostituiamo i valori e otteniamo:
h=202122

h=400144

h=256=16cm

Ora possiamo calcolare l’area del triangolo:
A=bh2

A=24162=192cm2

Applichiamo la formula per il calcolo del raggio e otteniamo:

r=2020244192

r=9600768=12,5cm


Proprietà Circonferenza Circoscritta

Dato un triangolo e note la misura di un suo lato a e l’ampiezza dell’angolo opposto, la misura r del raggio della circonferenza circoscritta è:
r=a2sinα

Se, dato un triangolo, sono note le misure dei suoi tre lati ab c la misura del raggio r della circonferenza circoscritta è:
r=abc4A
dove A rappresenta l’area del triangolo.


Proprietà Circonferenza Inscritta

Il raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo è:
r=Ap
dove p è il semiperimetro del triangolo.
Per calcolare il raggio, si può utilizzare anche la formula:

Da questa formula possiamo ricavare le formule del raggio utilizzando la trigonometria:
r=(pa)tanα2

r=(pb)tanβ2

r=(pc)tanγ2


Proprietà Circonferenza Ex-Inscritta

Il raggio r delle circonferenze ex-inscritte a un triangolo si può ottenere dalle seguenti formule:
ra=p(pb)(pc)pa

rb=p(pa)(pc)pb

rc=p(pa)(pb)pc

Queste formule possono anche essere scritte utilizzando la trigonometria:
ra=ptanα2

rb=ptanβ2

rc=ptanγ2

SOS Matematica

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