Circonferenze nei Triangoli

Definizione di Circonferenza Circoscritta

La circonferenza circoscritta al triangolo si ottiene quando i vertici del triangolo giacciono sulla circonferenza data.


Definizione di Circonferenza Inscritta

La circonferenza inscritta in un triangolo si ottiene quando i lati del triangolo sono tangenti alla circonferenza data.


Definizione di Circonferenza Ex-inscritta

Una circonferenza ex-inscritta ad un triangolo รจ una circonferenza tangente ad un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.


Esempi svolti

Esempio 1

Determinare la misura del raggio $r$ della circonferenza inscritta in un triangolo avente i lati che misurano $28 cm , 17 cm$ e $25 cm$.

Svolgimento

Per determinare il valore del raggio, utilizziamo la formula:

$$r=\sqrt{\frac{(p-a) \cdot(p-b) \cdot(p-c)}{p}}$$

Prima di tutto calcoliamo il semiperimetro, che risulta essere:
$$
p=\frac{28+17+25}{2} $$

$$p=\frac{70}{2}=35 cm
$$

A questo punto applichiamo la formula e avremo che:
$$
\begin{array}{l}
r=\sqrt{\frac{7 \cdot 8 \cdot 10}{35}} \
\end{array}
$$

Continuando i calcoli abbiamo:

$$
r=\sqrt{\frac{1260}{35}} $$

$$r=\sqrt{36}=6 cm
$$

Possiamo concludere che il raggio della circonferenza circoscritta misura $6 cm$.



Esempio 2

In un triangolo isoscele la base รจ lunga 24 $cm$ e il perimetro $64 cm$. Calcolare la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Svolgimento

Per prima cosa รจ necessario calcolare i lati del triangolo, poichรจ occorre utilizzare la seguente formula:
$$
r=\frac{a b c}{4 \cdot A}
$$

I lati del triangolo si possono semplicemente calcolare togliendo dal perimetro il valore della base e dividendo per due il risultato (poichรจ i due lati sono uguali essendo il triangolo isoscele):

$$
l=\frac{64-24}{2}=20 cm
$$

A questo punto dobbiamo calcolare l’area del triangolo, ma necessitiamo dell’altezza, che รจ possibile determinare attraverso l’applicazione del teorema di Pitagora. I valori che ci interessano sono il lato obliquo che misura $20 cm$ e la metร  della base, cioรจ $12 cm$. Sostituiamo i valori e otteniamo:
$$
h=\sqrt{20^2-12^2} $$

$$h=\sqrt{400-144} $$

$$h=\sqrt{256}=16 cm
$$

Ora possiamo calcolare l’area del triangolo:
$$
A=\frac{b \cdot h}{2} $$

$$A=\frac{24 \cdot 16}{2}=192 cm ^2$$

Applichiamo la formula per il calcolo del raggio e otteniamo:

$$
r=\frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} $$

$$r=\frac{9600}{768}=12,5 cm
$$


Proprietร  Circonferenza Circoscritta

Dato un triangolo e note la misura di un suo lato a e l’ampiezza dell’angolo opposto, la misura $r$ del raggio della circonferenza circoscritta รจ:
$$
r=\frac{a}{2 \sin \alpha}
$$

Se, dato un triangolo, sono note le misure dei suoi tre lati $a b$ c la misura del raggio $r$ della circonferenza circoscritta รจ:
$$
r=\frac{a b c}{4 \cdot A}
$$
dove $A$ rappresenta l’area del triangolo.


Proprietร  Circonferenza Inscritta

Il raggio $r$ della circonferenza inscritta in un triangolo รจ:
$$
r=\frac{A}{p}
$$
dove $p$ รจ il semiperimetro del triangolo.
Per calcolare il raggio, si puรฒ utilizzare anche la formula:

Da questa formula possiamo ricavare le formule del raggio utilizzando la trigonometria:
$$
r =(p-a) \cdot \tan \frac{\alpha}{2} $$

$$r =(p-b) \cdot \tan \frac{\beta}{2}
$$

$$
r=(p-c) \cdot \tan \frac{\gamma}{2}
$$


Proprietร  Circonferenza Ex-Inscritta

Il raggio $r$ delle circonferenze ex-inscritte a un triangolo si puรฒ ottenere dalle seguenti formule:
$$
r_a =\sqrt{\frac{p \cdot(p-b) \cdot(p-c)}{p-a}} $$

$$r_b =\sqrt{\frac{p \cdot(p-a) \cdot(p-c)}{p-b}} $$

$$r_c =\sqrt{\frac{p \cdot(p-a) \cdot(p-b)}{p-c}}
$$

Queste formule possono anche essere scritte utilizzando la trigonometria:
$$
r_a =p \cdot \tan \frac{\alpha}{2} $$

$$r_b =p \cdot \tan \frac{\beta}{2} $$

$$ r_c =p \cdot \tan \frac{\gamma}{2}
$$

SOS Matematica

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