Definizione di Circonferenza Circoscritta
La circonferenza circoscritta al triangolo si ottiene quando i vertici del triangolo giacciono sulla circonferenza data.
Definizione di Circonferenza Inscritta
La circonferenza inscritta in un triangolo si ottiene quando i lati del triangolo sono tangenti alla circonferenza data.
Definizione di Circonferenza Ex-inscritta
Una circonferenza ex-inscritta ad un triangolo è una circonferenza tangente ad un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.
Esempi svolti
Esempio 1
Determinare la misura del raggio $r$ della circonferenza inscritta in un triangolo avente i lati che misurano $28 cm , 17 cm$ e $25 cm$.
Svolgimento
Per determinare il valore del raggio, utilizziamo la formula:
$$r=\sqrt{\frac{(p-a) \cdot(p-b) \cdot(p-c)}{p}}$$
Prima di tutto calcoliamo il semiperimetro, che risulta essere:
$$
p=\frac{28+17+25}{2} $$
$$p=\frac{70}{2}=35 cm
$$
A questo punto applichiamo la formula e avremo che:
$$
\begin{array}{l}
r=\sqrt{\frac{7 \cdot 8 \cdot 10}{35}} \
\end{array}
$$
Continuando i calcoli abbiamo:
$$
r=\sqrt{\frac{1260}{35}} $$
$$r=\sqrt{36}=6 cm
$$
Possiamo concludere che il raggio della circonferenza circoscritta misura $6 cm$.
Esempio 2
In un triangolo isoscele la base è lunga 24 $cm$ e il perimetro $64 cm$. Calcolare la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
Svolgimento
Per prima cosa è necessario calcolare i lati del triangolo, poichè occorre utilizzare la seguente formula:
$$
r=\frac{a b c}{4 \cdot A}
$$
I lati del triangolo si possono semplicemente calcolare togliendo dal perimetro il valore della base e dividendo per due il risultato (poichè i due lati sono uguali essendo il triangolo isoscele):
$$
l=\frac{64-24}{2}=20 cm
$$
A questo punto dobbiamo calcolare l’area del triangolo, ma necessitiamo dell’altezza, che è possibile determinare attraverso l’applicazione del teorema di Pitagora. I valori che ci interessano sono il lato obliquo che misura $20 cm$ e la metà della base, cioè $12 cm$. Sostituiamo i valori e otteniamo:
$$
h=\sqrt{20^2-12^2} $$
$$h=\sqrt{400-144} $$
$$h=\sqrt{256}=16 cm
$$
Ora possiamo calcolare l’area del triangolo:
$$
A=\frac{b \cdot h}{2} $$
$$A=\frac{24 \cdot 16}{2}=192 cm ^2$$
Applichiamo la formula per il calcolo del raggio e otteniamo:
$$
r=\frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} $$
$$r=\frac{9600}{768}=12,5 cm
$$
Proprietà Circonferenza Circoscritta
Dato un triangolo e note la misura di un suo lato a e l’ampiezza dell’angolo opposto, la misura $r$ del raggio della circonferenza circoscritta è:
$$
r=\frac{a}{2 \sin \alpha}
$$
Se, dato un triangolo, sono note le misure dei suoi tre lati $a b$ c la misura del raggio $r$ della circonferenza circoscritta è:
$$
r=\frac{a b c}{4 \cdot A}
$$
dove $A$ rappresenta l’area del triangolo.
Proprietà Circonferenza Inscritta
Il raggio $r$ della circonferenza inscritta in un triangolo è:
$$
r=\frac{A}{p}
$$
dove $p$ è il semiperimetro del triangolo.
Per calcolare il raggio, si può utilizzare anche la formula:
Da questa formula possiamo ricavare le formule del raggio utilizzando la trigonometria:
$$
r =(p-a) \cdot \tan \frac{\alpha}{2} $$
$$r =(p-b) \cdot \tan \frac{\beta}{2}
$$
$$
r=(p-c) \cdot \tan \frac{\gamma}{2}
$$
Proprietà Circonferenza Ex-Inscritta
Il raggio $r$ delle circonferenze ex-inscritte a un triangolo si può ottenere dalle seguenti formule:
$$
r_a =\sqrt{\frac{p \cdot(p-b) \cdot(p-c)}{p-a}} $$
$$r_b =\sqrt{\frac{p \cdot(p-a) \cdot(p-c)}{p-b}} $$
$$r_c =\sqrt{\frac{p \cdot(p-a) \cdot(p-b)}{p-c}}
$$
Queste formule possono anche essere scritte utilizzando la trigonometria:
$$
r_a =p \cdot \tan \frac{\alpha}{2} $$
$$r_b =p \cdot \tan \frac{\beta}{2} $$
$$ r_c =p \cdot \tan \frac{\gamma}{2}
$$