Area Triangolo Qualsiasi

Definizione dell’Area di un Triangolo Qualsiasi

In un triangolo qualsiasi l’area della superficie è pari al semiprodotto tra due suoi lati ed il seno dell’angolo compreso tra essi.

Esempi svolti

Determinare l’area A di un triangolo, sapendo che i lati a e b misurano, rispettivamente $12\mathrm{cm}$ e $5\mathrm{cm}$ e il coseno dell’angolo $\gamma$ tra essi compreso è $3/5$.

Svolgimento

Applichiamo l’identità fondamentale della goniometria e calcoliamo il valore del seno:

$$\sin \gamma =\sqrt{1-{\cos }^2\gamma }$$

$$\sin \gamma =\sqrt{1-\frac{9}{25}}$$

$$\sin \gamma =\frac{4}{5}$$

Quindi l’area sarà:

$$A=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma$$

Sostituendo i valori, avremo che l’area del nostro triangolo è:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5\cdot \frac{4}{5}$$

$$A=24{\mathrm{cm}}^2$$

Spiegazione

In base ai teoremi enunciati sui triangoli rettangoli, si può facilmente ottenere una formula per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi in funzione di due suoi lati e dell’angolo tra essi compreso.

Prendiamo in considerazione il triangolo in figura.

Si può vedere che l’altezza del triangolo $ABC$ relativa al lato $BC$ è data da:

$$h=c\cdot \sin \beta$$

Quindi avremo che l’area A sarà:

$$A=\frac{1}{2}a\cdot h$$

Sostituendo il valore di h otteniamo:

$$A=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin \beta$$