Definizione dell’Area di un Triangolo Qualsiasi
In un triangolo qualsiasi l’area della superficie è pari al semiprodotto tra due suoi lati ed il seno dell’angolo compreso tra essi.
Esempi svolti
Determinare l’area A di un triangolo, sapendo che i lati a e b misurano, rispettivamente $12 \mathrm{~cm}$ e $5 \mathrm{~cm}$ e il coseno dell’angolo $\gamma$ tra essi compreso è $3 / 5$.
Svolgimento
Applichiamo l’identità fondamentale della goniometria e calcoliamo il valore del seno:
$$
\sin \gamma=\sqrt{1-\cos ^2 \gamma} $$
$$\sin \gamma=\sqrt{1-\frac{9}{25}} $$
$$\sin \gamma=\frac{4}{5}
$$
Quindi l’area sarà:
$$
A=\frac{1}{2} a b \cdot \sin \gamma
$$
Sostituendo i valori, avremo che l’area del nostro triangolo è:
$$
A=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} $$
$$A=24 \mathrm{~cm}^2
$$
Spiegazione
In base ai teoremi enunciati sui triangoli rettangoli, si può facilmente ottenere una formula per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi in funzione di due suoi lati e dell’angolo tra essi compreso.
Prendiamo in considerazione il triangolo in figura.
Si può vedere che l’altezza del triangolo $A B C$ relativa al lato $B C$ è data da:
$$
h=c \cdot \sin \beta
$$
Quindi avremo che l’area A sarà:
$$
A=\frac{1}{2} a \cdot h
$$
Sostituendo il valore di h otteniamo:
$$A=\frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin \beta$$