Impara ad utilizzare il Teorema del triangolo isoscele (se un triangolo è isoscele, allora ha (anche) due angoli congruenti) e il suo Teorema inverso. Impara ad utilizzare la proprietà del triangolo isoscele: la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.
Appunti
Vuoi imparare tutte le proprietà dei triangoli isosceli e equilateri? Sei nella lezione giusta! Hai imparato a classificare i triangoli e i criteri di congruenza, ora puoi imparare le loro proprietà più importanti, a partire dal triangolo isoscele!
In questa lezione imparerai:
- Teorema del triangolo isoscele: quali sono e come si dimostrano i teoremi dei triangoli isosceli
- Bisettrice del triangolo isoscele: quali proprietà ha la bisettrice di un triangolo isoscele
- Proprietà del triangolo equilatero: quali sono le proprietà di un triangolo equilatero
Prerequisiti per imparare i triangoli isosceli e proprietà
I prerequisiti per imparare a conoscere i triangoli isosceli e le loro proprietà sono:
- bisettrice, mediana, altezza
- classificazione dei triangoli.
Teorema del triangolo isoscele
I triangoli isosceli sono quelli con due lati congruenti.
Teorema del triangolo isoscele:
Se un triangolo è isoscele, allora ha (anche) due angoli congruenti.
Per dimostrare il teorema del triangolo isoscele tracciamo la bisettrice dell’angolo opposto alla base e troviamo così due nuovi triangoli, a questi applichiamo il primo criterio di congruenza per concludere che i due angoli alla base sono congruenti.
Inverso del teorema del triangolo isoscele:
Se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele … ha quindi anche due lati congruenti.
Per dimostrare l’inverso del teorema del triangolo isoscele prolunghiamo i due lati obliqui (quelli uguali!) di due segmenti congruenti, poi applichiamo il teorema del triangolo isoscele appena dimostrato e i primi due criteri di congruenza ai triangoli che abbiamo ottenuto con la nostra costruzione.
Il teorema del triangolo isoscele e il suo inverso si possono scrivere in un solo enunciato:
“Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti”
Quindi se è isoscele (ha due lati uguali) ha due angoli uguali e se ha due angoli uguali è isoscele (ha due lati uguali).
Bisettrice nei triangolo isosceli
Nei triangoli isosceli: la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.
La dimostrazione di questa proprietà dei triangoli isosceli è simile a quella del teorema del triangolo isoscele, tracciamo la bisettrice, applichiamo il primo criterio di congruenza ai due triangoli che abbiamo così costruito e analizziamo i segmenti e gli angoli rimasti per concludere che la bisettrice è anche mediana e altezza!
Proprietà del triangolo equilatero
Un triangolo è equilatero quando ha tutti i lati congruenti. Ogni triangolo equilatero è anche isoscele perché ha due lati congruenti.
La conseguenza è che possiamo applicare al triangolo equilatero i teoremi del triangolo isoscele:
- condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che abbia i tre angoli congruenti (dal teorema del triangolo isoscele);
- in un triangolo equilatero ogni bisettrice è anche mediana e altezza (dal teorema della bisettrice del triangolo isoscele).