Impara a riconoscere un trapezio (quadrilatero con due soli lati paralleli), le definizioni (base maggiore, base minore, lati obliqui, altezza), la classificazione (isoscele, equilatero, scaleno) e ad utilizzare il Teorema del trapezio isoscele e il Teorema inverso. Impara a riconoscere un fascio improprio di rette (l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta) e ad utilizzare le sue proprietà.
Appunti
Cosa è un trapezio? Come si classificano i trapezi? Quale è la proprietà principale del trapezio isoscele? Come si dimostra il teorema di Talete, quello sul fascio di rette parallele tagliate da due trasversali? Quali sono le proprietà che si dimostrano con il teorema di Talete? Ora che abbiamo studiato le proprietà dei parallelogrammi siamo pronti a studiare i trapezi ed i fasci di rette parallele, con le loro proprietà più importanti dimostrate e alcune dimostrazioni utili per gli esercizi.
In questa video lezione imparerai:
- Definizione e classificazione dei trapezi: cosa è un trapezio e come si classificano i trapezi
- Teorema del trapezio isoscele e suo inverso: enunciato e dimostrazione della proprietà necessaria e sufficiente dei trapezi isosceli e corollario
- Definizioni e proprietà dei fasci impropri di rette: cosa è un fascio improprio di rette, teoremi e proprietà con dimostrazione
Prerequisiti per imparare il trapezio e i fasci impropri di rette
I prerequisiti per imparare il trapezio e i fasci impropri di rette sono:
- poligoni
- rette parallele.
Che cos’è un trapezio
Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli.
Un trapezio può essere:
- isoscele, se ha i lati obliqui congruenti;
- rettangolo, se uno dei due lati obliqui è perpendicolare alle basi;
- scaleno, se i lati hanno diversa lunghezza e gli angoli diversa ampiezza tra loro.
Attenzione! Il perimetro è la somma dei suoi lati: Base maggiore $(B)+$ base minore (b) + lato obliquo 1 + lato obliquo 2.
L’area è: $\frac{(B+b) \cdot h}{2}$.
Teorema del trapezio isoscele e suo inverso
Teorema del trapezio isoscele: “in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti“
Per dimostrare il teorema disegniamo le altezze del trapezio, e applichiamo il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
Da questo teorema segue il corollario: “nei trapezi isosceli, gli angoli opposti sono supplementari“.
Teorema inverso del trapezio isoscele: “se un trapezio ha gli angoli alla base congruenti allora è sempre un trapezio isoscele!”
Dimostriamo il teorema come il precedente, tracciamo le altezze e poi applichiamo il secondo criterio di congruenza.
Cosa sono i fasci impropri di rette
Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta.
Una retta che interseca tutte le rette del fascio è la trasversale del fascio.
Quando le trasversali sono due esistono:
- punti corrispondenti, i punti in cui ogni retta del fascio interseca le trasversali;
- segmenti corrispondenti, i segmenti con i punti corrispondenti come estremi.
Teorema del fascio di rette parallele: “dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.“
Il teorema del fascio di rette parallele ci torna utile anche con i triangoli e con i trapezi. Infatti grazie a questo teorema possiamo dimostrare che:
- “se in un triangolo tracciamo la retta che passa per il punto medio di un lato ed è parallela ad un altro lato, allora questa incontra anche il terzo lato nel suo punto medio”.
- “se in un triangolo si congiungono i punti medi di due lati, allora il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà”.
Questi teoremi ci aiutano anche con i trapezi, e ci permettono di affermare che “in un trapezio, il segmento congiungente i punti medi del lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma“.