Teorema di Talete

Teorema di Talete: studia la dimostrazione e i corollari del teorema di Talete. Troverai qui anche una spiegazione facile del teorema della bisettrice di un angolo interno.

Appunti

Cosa dice il teorema di Talete? Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali forma segmenti direttamente proporzionali. Ma cosa sono due grandezze direttamente proporzionali? Imparalo in questa lezione insieme alla dimostrazione del teorema di Talete e ai suoi corollari.

In questa lezione imparerai:

• Teorema di Talete: definizione di insiemi direttamente proporzionali e dimostrazione del teorema di Talete; 
• Corollari del Teorema di Talete: enunciati di due applicazioni del teorema di Talete;
• Teorema della bisettrice di un angolo interno: corollario del teorema di Talete e dimostrazione.

Prerequisiti per imparare il Teorema di Talete

I prerequisiti per imparare il Teorema di Talete sono:

parallele

teorema delle rette parallele

bisettrice.

Teorema di Talete

Prima di affrontare il teorema, dobbiamo capire bene cosa significa parlare di grandezze direttamente proporzionali.

Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ di grandezze omogenee tra cui esiste una corrispondenza biunivoca, ovvero ad ogni elemento di $A$ è associato uno e un solo elemento di $B$. Questi due insiemi sono direttamente proporzionali se il rapporto di due qualsiasi grandezze in $A$ è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze in $B$.
Perché gli insiemi siano direttamente proporzionali devono essere valide queste due condizioni:

1. se in $A$ ci sono due grandezze uguali, anche le corrispondenti grandezze in $B$ sono uguali;
2. alla somma di due grandezze in $A$ corrisponde la somma di due grandezze in $B$.

Teorema di Talete: Preso un insieme di rette parallele $a$, $b$ e $c$ tagliate da due trasversali $p$ e $q$, i segmenti che si formano su $p$ dall’intersezione con le rette parallele sono direttamente proporzionali ai segmenti che si formano su $q$.

Per dimostrare il teorema di Talete dobbiamo verificare due condizioni:

1. a segmenti uguali su $p$ corrispondono segmenti uguali su $q$;
2. alla somma di due segmenti su $p$ corrisponde su $q$ la somma dei segmenti corrispondenti.
   

Per dimostrare la prima condizione tracciamo due segmenti paralleli ad una trasversale che abbiano un estremo in comune con l’altra trasversale. Si formano così due parallelogrammi e due triangoli, per le proprietà dei triangoli e quelle delle rette parallele dimostriamo la congruenza dei due triangoli.

Per dimostrare la seconda condizione ragioniamo sulle somme di segmenti principalmente.

Corollari al teorema di Talete

Ecco i corollari al teorema di Talete:

1. Se una retta è parallela ad uno dei tre lati di un triangolo, allora gli altri due lati sono divisi da questa retta in segmenti proporzionali.
2. Se una retta interseca un triangolo in due lati formando dei segmenti proporzionali, allora essa è parallela al terzo lato.

Teorema della bisettrice di un angolo interno

La bisettrice di uno degli angoli interni di un triangolo taglia il lato opposto all’angolo in segmenti proporzionali agli altri due lati.

Per dimostrare questo teorema disegniamo la bisettrice e le sue parallele che passano per gli altri due vertici del triangolo.
Applichiamo poi il teorema di Talete, quello delle parallele e la definizione e le proprietà di triangolo isoscele.