Impara enunciato e dimostrazione del teorema delle rette parallele. Scopri l’inverso di questo teorema e i suoi corollari.
Appunti
“Due rette parallele formano con una trasversale angoli…” hai sempre sentito questo enunciato e vuoi imparare come si dimostra e quali sono le sue applicazioni? Sei nella lezione giusta! Hai imparato cosa sono le rette parallele e come si definiscono, ora puoi imparare il teorema delle rette parallele e alcune sue applicazioni.
In questa lezione imparerai:
- Teorema delle rette parallele: cosa è e quale è la dimostrazione del teorema delle rette parallele
- Inverso del teorema delle rette parallele: quale è la dimostrazione del teorema inverso delle rette parallele
Prerequisiti per imparare il teorema delle rette parallele
I prerequisiti per imparare il teorema delle rette parallele sono:
- rette parallele
- angoli
Teorema delle rette parallele
Teorema delle rette parallele:
“Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.”
Dimostriamo il teorema per assurdo, cioè supponiamo che le due rette siano incidenti e poi applichiamo il teorema dell’angolo esterno.
Criteri di parallelismo
Più in generale, possiamo dire che sono parallele due rette che incontrando una terza retta formano:
- angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o;
- angoli corrispondenti congruenti, o;
- angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
Da questo teorema discende il seguente corollario: “due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele”.
Inverso del teorema delle rette parallele
II teorema inverso delle rette parallele:
“se due rette sono parallele, allora formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti.”
Dimostriamo il teorema per assurdo: supponiamo che i due angoli considerati siano diversi, applichiamo il teorema delle parallele e otteniamo una contraddizione con il quinto postulato di Euclide. Più in generale, possiamo dire che se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale:
- angoli alterni (interni e esterni) congruenti;
- angoli corrispondenti congruenti;
- angoli coniugati (interni e esterni) supplementari;
Da questo teorema seguono alcuni corollari:
- date due rette parallele, se una retta è perpendicolare a una di esse è perpendicolare anche all’altra;
- date due rette incidenti, le perpendicolari a queste due rette sono anch’esse incidenti;
- due rette che siano parallele a una terza sono tra loro parallele;
- date due rette parallele, se una terza retta incontra una delle due parallele allora incontra anche l’altra;
- due rette $a^{\prime}$ e $b^{\prime}$, rispettivamente parallele a due rette a e $b$ incidenti, sono anch’esse incidenti. (Si dimostra per assurdo!).