In questa lezione impari a riconoscere e usare la tautologia (una frase composta che è sempre vera), la contraddizione (una frase composta che è sempre falsa) e le leggi di De Morgan, che servono per negare la congiunzione di due proposizioni e per negare la disgiunzione di due proposizioni.
Appunti
In questa video lezione imparerai cosa sono e quali simboli rappresentano una tautologia, una contraddizione e le leggi di De Morgan.
Tautologia: è una frase composta che è sempre vera. Esempio: “Il mio iPad funziona o non funziona”, “L’orologio ha le lancette oppure no” sono tautologie.
Contraddizione: è una frase composta che è sempre falsa. Esempio: “Il mio iPad funziona e non funziona”, “L’orologio ha le lancette e non le ha” sono contraddizioni.
Le leggi di De Morgan uniscono negazione, congiunzione e disgiunzione e sono due: una per negare la congiunzione di due proposizioni, una per negare la disgiunzione di due proposizioni.
Prerequisiti per imparare tautologie, contraddizioni e leggi di De Morgan
I prerequisiti per imparare tautologie, contraddizioni e leggi di De Morgan sono:
congiunzione e disgiunzione
leggi di De Morgan.
Tautologie
Le tautologie sono proposizioni sempre vere. Ad esempio:
- A: “La macchina o parte o non parte”;
- B: “Lorologio ha le lancette oppure no.”
- C: “La lampadina o e accesa oppure no.”.
Come le rappresento formalmente con espressioni logiche? Consideriamo la proposizione
A: “La macchina o parte o non parte”
essa è costituita da due predicati, ovvero da due proposizioni logiche:
- P: “La macchina parte.”
- Q: “La macchina non parte.”
Legate dalla particella ‘o’: $P \vee Q$. Inoltre, $Q=\bar{P}$. Quindi posso riscrivere $A=P \vee \bar{P}$.
Allora, costruendo la tavola di verità:
se $P$ è vera, $\bar{P}$ è falsa equindi $P \vee \bar{P}$ è vera;
se $P$ è falsa, $\bar{P}$ è vera e quindi la proposizione composta è di nuovo vera.
Quindi, la $P \vee \bar{P}$ è sempre vera! Allora è una tautologia!
Contraddizioni
Le contraddizioni sono proposizioni composte sempre false. Ad esempio:
- $A$ : “ll telefonino è acceso e non è acceso”
- $B$ : “Il mio ipad funziona e non funziona”
- C: “Il mio gatto è nero enon è nero”
Sono proposizioni sempre false. Come le rappresento con espressioni logiche?
$C$ :”ll mio gatto è nero e non è nero.”
$C$ è costituita da due predicati, orvero due proposizioni logiche:
- $P:$ “ Il mio gatto è nero”
- $Q:$ “ll mio gatto non è nero”
Legate dalla particella ‘e’: $P \wedge Q$
Inoltre, $Q=\bar{P}$. Quindi posso riscrivere $C=P \wedge \bar{P}$
Allora, costruendo la tavola di verità:
se $P$ è vera, $\bar{P}$ è falsa equindi $P \wedge \bar{P}$ è falsa;
se $P$ è falsa, $\bar{P}$ è vera equindi la proposizione composta è ancora falsa.
Quindi, la $P \wedge \bar{P}$ è effettivamente sempre falsa! Allora è una contraddizione!
Leggi di De Morgan
Esistono delle leggi in Logica che uniscono negazione, congiunzione e disgiunzione : sono le Leggi di De Morgan.
Le leggi di De Morgan sono due:
- una per negare la congiunzione di due proposizioni
- una per negare la disgiunzione di due proposizioni.
Quindi:
La prima legge di De Morgan ci dice che negare la congiunzione di due proposizioni equivale a fare la disgiunzione delle due proposizioni negate.
La seconda legge di De Morgan ci dice che negare la disgiunzione di due proposizioni equivale a fare la congiunzione delle due proposizioni negate.
Prima legge di De Morgan
Esempio della prima legge di De Morgan:
$P:$ “ll leone ha la criniera” $\rightarrow \bar{P}:$ “Il leone non ha la criniera.”
$Q:$ “ll leone ha 4 zampe” $\rightarrow \bar{Q}: “$ Il leone non ha 4 zampe.”
Allora $P \wedge Q:$ : “Il leone ha 4 zampe e la criniera.”
Se facciamo la negazione, otteniamo:
$\overline{(P \wedge Q)}$ : “Non è che il leone ha 4 zampe e ha la criniera.”
Il secondo membro della prima legge di De Morgan invece e $\bar{P} \vee \bar{Q}$ : “Il leone non ha quattro zampe o non ha la criniera.”
Orvero le due espressioni sono equivalenti.
Seconda legge di De Morgan
Esempio della seconda legge di De Morgan:
$P$ : “Nel mio gelato ci sono le fragole.” $\rightarrow \bar{P}$ : “Nel mio gelato non ci sono le fragole”
$Q:$ “Nel mio gelato c’è il cioccolato.” $\rightarrow \bar{Q}:$ “Nel mio gelato non c’è il cioccolato.”
$P \vee Q$ : “Nel mio gelato ci sono le fragole o il cioccolato.”
Se facciamo la negazione, otteniamo:
$\overline{(P \vee Q)}$ : “Non è che nel mio gelato ci sono le fragole o il cioccolato.”
Mentre il secondo membro della legge è
$\bar{P} \wedge \bar{Q}:$ “Nel mio gelato non ci sono le fragole e nel mio gelato non c’è cioccolato!”