Scopri le successioni numeriche, come si rappresentano, le proprietà.
Che cos’è una successione monotona e infine vediamo la successione delle somme.
Appunti
Le successioni numeriche sono un particolare tipo di funzioni. In analisi matematica, è interessante capire quali sono gli elementi di una successione e le proprietà.
In questa lezione vedrai:
- Definizione di successione
- Rappresentazione delle successioni
- Successioni monotone
- Successione delle somme
Prerequisiti per imparare le successioni numeriche
I prerequisiti per imparare le successioni numeriche sono:
- numeri naturali;
- definizione di funzione.
Cos’è una successione
Una successione è una funzione che ha dominio l’insieme $N$ dei numeri naturali, oppure un suo sottoinsieme.
Ad ogni numero naturale $n$ del dominio, che chiamiamo indice della successione, associamo il suo valore $a_n$ che viene detto termine n-esimo della successione $a$.
Viene usata l’espressione $a_n$ invece di $a(n)$ tipico delle funzioni proprio per distinguere le successioni dalle funzioni con dominio l’insieme $R$ (o un suo sottoinsieme).
Rappresentazione delle successioni
Una successione ha infiniti termini. Possiamo rappresentarli elencandoli uno per uno (rappresentazione per elencazione) ma ha senso farlo solo per i primi termini.
La rappresentazione più comune è detta formula analitica, che è quella che usiamo di solito per le funzioni. Ad esempio, la successione $a_n=n^2$ associa ad ogni numero naturale il suo quadrato.
Alcune successioni sono definite per ricorsione, cioè il termine successivo è ottenuto dal precedente seguendo una regola che viene definita. A partire dal primo termine della successione è possibile trovare gli altri seguendo la regola. Un esempio è la successione di Fibonacci: ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono. Basta definire i primi due e troviamo tutti gli altri.
Successioni monotone
Come per le funzioni, anche le successioni possono essere monotone. Una successione è monotona se ciascun termine è maggiore del precedente, e in questo caso sarà monotona crescente, oppure se ogni termine è minore del termine che lo precede, e in questo caso sarà monotona decrescente.
Ovviamente, ci sono successioni che non sono monotone. Possono cioè crescere e poi decrescere o viceversa.
Successione delle somme
Partiamo da una successione $a_n$. Cosa succede se sommiamo tutti i suoi termini? Creiamo una nuova successione. Infatti il primo termine della nuova successione sarà uguale ad $a_0$, il secondo sarà la somma di $a_0$ e $a_1$ e così via.
La nuova successione viene chiamata successione delle somme (parziali): ogni termine è uguale alla somma dei primi $n$ termini della successione “base”. Per indicare questa somma (infinita), usiamo il simbolo di sommatoria $\sum$.
La successione delle somme $s_n$ ha quindi espressione $s_n=\sum_{k=0}^n a_k$.