Ripasso sui fasci di rette

Cominciamo da un bel ripasso di fasci di rette propri e impropri, poi vediamo come si studia un fascio e quali sono le sue applicazioni.

Appunti

Prima di iniziare lo studio dei sistemi parametrici, è bene ripassare i fasci di rette. Ricordi cosa sono?
I fasci di rette sono insiemi di rette con una caratteristica in comune. Ci sono due tipi:

  • fasci di rette propri: tutte le rette sono incidenti in uno stesso punto detto centro del fascio;
  • fasci di rette impropri: tutte le rette sono parallele.

Prerequisiti per ripassare i fasci di rette

I prerequisiti per ripassare i fasci di rette sono:

  • equazione della retta
  • fasci di rette.

Fasci di rette

Cos’è un fascio di rette? È un insieme di rette che hanno una proprietà in comune. Abbiamo due tipi di fascio di rette:

  • fascio di rette proprio: è l’insieme delle rette che passano tutte per un stesso punto, detto centro del fascio;
  • fascio di rette improprio: è l’insieme delle rette parallele a una retta data. Essendo parallele, hanno tutte lo stesso coefficiente angolare.

Per capire se un fascio di rette sia proprio o improprio, basta guardare il coefficiente angolare delle rette del fascio: se dipende dal parametro (variabile) allora è un fascio di rette proprio, altrimenti è improprio.
Ad esempio, l’insieme delle rette y=kx+4 è un fascio di rette proprio, perché al variare di k cambia anche il coefficiente angolare. II fascio di rette y=3x+2k è invece un fascio di rette improprio perché il coefficiente angolare delle rette è costante (uguale a 3 ) e cambia solo il termine noto.

Come studiare un fascio di rette

Per studiare un fascio di rette dobbiamo:
capire se è proprio oppure improprio: basta guardare se il coefficiente angolare dipende dal parametro (di solito indicato con k );

  • se è proprio, troviamo le due generatrici e il centro del fascio;
  • se è improprio, è sufficiente studiare la retta con k=0 e poi studiare al variare del parametro come sono fatte le rette.

Il caso più comune negli esercizi è quello in cui è data un’equazione di primo grado in due incognite x,y e dipendente da un parametro k della forma ( ). Indipendentemente dalla disposizione dei vari termini, nella pratica seguiremo i passaggi algebrici necessari per ridurci sempre alla rappresentazione implicita
ax+by+c+k(ax+by+c)=0
In questo modo ricaviamo le equazioni delle rette generatrici del fascio:
ax+by+c=0;ax+by+c=0
dove la generatrice ax+by+c=0 è la retta esclusa che non appartiene ad esso.

Fatto ciò passiamo a calcolare le coordinate cartesiane del centro del fascio mettendo a sistema le equazioni delle generatrici; sappiamo infatti che mettendo a sistema due rette che si intersecano si ottengono le coordinate del punto di intersezione
$$
\left{ax+by+c=0 ax+by+c=0\right.
$$

Quello che abbiamo di fronte è un semplice sistema lineare che possiamo risolvere con le tecniche a noi note. Nulla di difficile: in generale un sistema lineare di due equazioni in due incognite può ammettere:

I) nessuna soluzione nessun punto di intersezione non è un fascio proprio di rette;
II) una sola soluzione un unico punto di intersezione C=(xC,yC) è un fascio proprio di rette e ne abbiamo calcolato il centro;
III) infinite soluzioni le due rette a sistema sono coincidenti non è un fascio proprio di rette.

Questo è il metodo che vi permetterà di studiare un fascio di rette qualsiasi e di capire se si tratta di un fascio proprio di rette. Che dire a proposito dei casi I) e III)? Come vedremo nel seguito nel caso I) ricadiamo in un fascio di rette parallele, mentre nel caso III) abbiamo a che fare con un fascio degenere in cui per ogni valore di k otteniamo sempre la medesima retta.

SOS Matematica

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