Cominciamo da un bel ripasso di fasci di rette propri e impropri, poi vediamo come si studia un fascio e quali sono le sue applicazioni.
Appunti
Prima di iniziare lo studio dei sistemi parametrici, è bene ripassare i fasci di rette. Ricordi cosa sono?
I fasci di rette sono insiemi di rette con una caratteristica in comune. Ci sono due tipi:
- fasci di rette propri: tutte le rette sono incidenti in uno stesso punto detto centro del fascio;
- fasci di rette impropri: tutte le rette sono parallele.
Prerequisiti per ripassare i fasci di rette
I prerequisiti per ripassare i fasci di rette sono:
- equazione della retta
- fasci di rette.
Fasci di rette
Cos’è un fascio di rette? È un insieme di rette che hanno una proprietà in comune. Abbiamo due tipi di fascio di rette:
- fascio di rette proprio: è l’insieme delle rette che passano tutte per un stesso punto, detto centro del fascio;
- fascio di rette improprio: è l’insieme delle rette parallele a una retta data. Essendo parallele, hanno tutte lo stesso coefficiente angolare.
Per capire se un fascio di rette sia proprio o improprio, basta guardare il coefficiente angolare delle rette del fascio: se dipende dal parametro (variabile) allora è un fascio di rette proprio, altrimenti è improprio.
Ad esempio, l’insieme delle rette $y=k x+4$ è un fascio di rette proprio, perché al variare di $k$ cambia anche il coefficiente angolare. II fascio di rette $y=3 x+2 k$ è invece un fascio di rette improprio perché il coefficiente angolare delle rette è costante (uguale a 3 ) e cambia solo il termine noto.
Come studiare un fascio di rette
Per studiare un fascio di rette dobbiamo:
capire se è proprio oppure improprio: basta guardare se il coefficiente angolare dipende dal parametro (di solito indicato con $k$ );
- se è proprio, troviamo le due generatrici e il centro del fascio;
- se è improprio, è sufficiente studiare la retta con $k=0$ e poi studiare al variare del parametro come sono fatte le rette.
Il caso più comune negli esercizi è quello in cui è data un’equazione di primo grado in due incognite $x, y$ e dipendente da un parametro $k$ della forma ( $\bullet$). Indipendentemente dalla disposizione dei vari termini, nella pratica seguiremo i passaggi algebrici necessari per ridurci sempre alla rappresentazione implicita
$$
a x+b y+c+k\left(a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}\right)=0
$$
In questo modo ricaviamo le equazioni delle rette generatrici del fascio:
$$
a x+b y+c=0 \quad ; \quad a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0
$$
dove la generatrice $a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0$ è la retta esclusa che non appartiene ad esso.
Fatto ciò passiamo a calcolare le coordinate cartesiane del centro del fascio mettendo a sistema le equazioni delle generatrici; sappiamo infatti che mettendo a sistema due rette che si intersecano si ottengono le coordinate del punto di intersezione
$$
\left{\begin{array}{l}
a x+b y+c=0 \
a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0
\end{array}\right.
$$
Quello che abbiamo di fronte è un semplice sistema lineare che possiamo risolvere con le tecniche a noi note. Nulla di difficile: in generale un sistema lineare di due equazioni in due incognite può ammettere:
I) nessuna soluzione $\rightarrow$ nessun punto di intersezione $\rightarrow$ non è un fascio proprio di rette;
II) una sola soluzione $\rightarrow$ un unico punto di intersezione $C=\left(x_C, y_C\right) \rightarrow$ è un fascio proprio di rette e ne abbiamo calcolato il centro;
III) infinite soluzioni $\rightarrow$ le due rette a sistema sono coincidenti $\rightarrow$ non è un fascio proprio di rette.
Questo è il metodo che vi permetterà di studiare un fascio di rette qualsiasi e di capire se si tratta di un fascio proprio di rette. Che dire a proposito dei casi I) e III)? Come vedremo nel seguito nel caso I) ricadiamo in un fascio di rette parallele, mentre nel caso III) abbiamo a che fare con un fascio degenere in cui per ogni valore di $k$ otteniamo sempre la medesima retta.