Hai imparato che le relazioni possono godere di alcune proprietà. Scopri cosa sono le relazioni di equivalenza e le relazioni d’ordine.
Impara a distinguere i diverti tipi di relazioni d’ordine: ci sono le relazioni d’ordine largo o stretto, ma anche le relazioni d’ordine totale o parziale.
Appunti
Relazione di equivalenza, relazione d’ordine (che può essere totale o parziale, largo o stretto). Quali proprietà rispettano queste relazioni? Vuoi sapere di più sulle relazioni d’ordine e di equivalenza? Studialo in questa lezione!
In questa lezione vediamo:
- Relazione di equivalenza: qual è la definizione di relazione di equivalenza e di insieme quoziente
- Relazione di ordine largo e stretto: quali proprietà rispetta la relazione d’ordine e quanti tipi di relazione d’ordine esistono
- Relazione di ordine totale e parziale: cosa è la relazione d’ordine totale e cosa è la relazione d’ordine parziale
Prerequisiti per imparare le relazioni di equivalenza e d’ordine
I prerequisiti per imparare le relazioni di equivalenza e d’ordine sono:
- relazioni
- proprietà delle relazioni.
Cos’è una relazione di equivalenza
Una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Per una relazione di equivalenza, quindi, devono valere contemporaneamente le tre proprietà che abbiamo studiato. Consideriamo un insieme $A$. La relazione $R$ è una relazione di equivalenza se gode di queste proprietà:
- riflessiva se $\forall a \in A a R a$
- simmetrica: $\forall a, b \in A$ se $a R b \Rightarrow b R a$
- transitiva: $\forall a, b, c \in A$ se $a R b$ e $b R c \Rightarrow a R c$.
Cos’è una relazione d’ordine
La relazione d’ordine in un insieme $A$ mette in ordine gli elementi: possiamo stabilire quale elemento “viene prima” e quale “viene dopo”.
Perché questo sia possibile la relazione deve essere:
- antisimmetrica perché in qualsiasi “ordine” se $a$ è prima di $b$, allora $b$ non può essere prima di $a$;
- transitiva perché la stessa relazione deve mettere in “ordine” più di un elemento, senza contraddirsi: se $a$ è prima di $b$ e $b$ è prima di $c$, allora $a$ è prima di $c$.
Una relazione è di ordine:
- largo se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche riflessiva;
- stretto se è una relazione transitiva e antisimmetrica, è non è riflessiva.
Qual è il rapporto tra le relazioni di equivalenza e d’ordine?
Hai visto cos’è una relazione di equivalenza e una relazione d’ordine. Ma a cosa servono? E quale “relazione” c’è tra loro?
Una relazione di equivalenza ci fa venire in mente che gli elementi in relazione sono “praticamente uguali” (o equivalenti), mentre una relazione d’ordine ci permette di “ordinare” (fare una specie di classifica) gli elementi.