Scopri che rapporti ci sono tra i triangoli e i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte. Impara come trovare i lati di un poligono regolare (triangolo equilatero, quadrato, esagono) conoscendo il raggio della circonferenza inscritta o circoscritta.
Appunti
Come calcolare i raggi della circonferenza inscritta in un triangolo conoscendo l’area e il perimetro del triangolo, o i lati di un poligono inscritto o circoscritto conoscendo le informazioni sulla circonferenza. Impara con noi tutte le formule che ti serviranno e come si dimostrano.
In questa lezione imparerai:
- Raggi di circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli: formule e dimostrazioni
- Lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti: formule e dimostrazioni
Prerequisiti per imparare circonferenza, triangoli e poligoni regolari
I prerequisiti per imparare circonferenza, triangoli e poligoni regolari sono:
- circonferenza
- triangoli inscritti
- poligoni regolari e circonferenza.
Raggi di circonferenze inscritte e circoscritte a triangoli
In una circonferenza iscritta in un triangolo la misura del raggio è uguale al rapporto tra l’area del triangolo e il semiperimetro: $r=$ $\frac{A}{p}$
Per dimostrare questa formula possiamo scomporre il triangolo $A B C$ in tre triangolini unendo i vertici con il centro $O$ della circonferenza. In questo modo, l’area è la somma delle tre aree, ma i triangolini hanno tutti la stessa altezza, uguale al raggio.
In una circonferenza circoscritta al triangolo per trovare la misura del raggio $R$ possiamo usare la formula
$$
R=\frac{a \cdot b \cdot c}{4 A}
$$
Per dimostrare questa formula applichiamo il primo criterio di similitudine dei triangoli, possiamo farlo ragionando sulle proprietà dei triangoli inscritti in una circonferenza ed i teoremi delle corde di una circonferenza.
Lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti
I solidi regolari possono sempre essere inscritti o circoscritti ad una circonferenza. Usando i risultati di prima, possiamo sempre calcolare i lati dei poligoni regolari conoscendo il raggio $r$ della circonferenza iscritta o il raggio $R$ della circonferenza circoscritta. Ecco le formule più utili.
Triangolo equilatero: $l=R \sqrt{3}=2 r \sqrt{3}$ : possiamo dimostrare questa formula con le due formule precedenti.
Quadrato: $l=R \sqrt{2}=2 r$ :
la dimostriamo ricordando la formula della diagonale e ragionando sulla circonferenza inscritta in un quadrato.
Esagono: $l=R=\frac{2 \sqrt{3}}{3} r$ : anche questa formula possiamo dimostrarla ragionando sulla circonferenza inscritta nell’esagono e sulle proprietà dei triangoli equilateri.