Questi numeri hanno fatto impazzire Pitagora e i suoi discepoli. Quali sono? I radicali. Scopri cosa sono i radicali e come rappresentarli. Impara le prime operazioni, le proprietà.
Appunti
Penserai: stavo giusto giusto per capirci qualcosa, e ora? Cos’è questo strano simbolo. Niente panico, sono solo i numeri radicali. Ma cos’è un radicale? Quale è la differenza fra radice e radicale? Quale è il radicando e quale l’indice? Come si semplifica una radice?
Piano piano… Una cosa alla volta!
II radicale è la radice $n$-esima (di indice $n$ ) di un numero reale $a$, con $n$ naturale e $n \neq 0$
- Se $a \geq 0$, la radice n-esima di $a$ è quel numero $b \geq 0$ tale che $b^n=a$.
- Se $a<0$ e $n$ numero pari, non esiste la radice n-esima di $a$.
- Se $a<0$ e $n$ dispari, la radice n-esima di $a$ è quel numero $n$ tale che $b^n=a$.
Fortunatamente ci sono le proprietà! Iniziamo dai radicali che appartengono all’insieme dei numeri reali non negativi $R ^{+} \cup 0$, cioè su $\sqrt[n]{a}=b, a, b \geq 0$ con $n \in N _0$ ( $N _0$ è l’insieme dei numeri naturali senza lo 0 ).
Se il radicando è un’espressione letterale, allora la C.E., se l’indice è pari, è radicando $\geq 0$.
Prerequisiti per imparare cosa sono i radicali
I prerequisiti per imparare cosa sono i radicali sono:
- potenze
- radice quadrata
Cosa sono i radicali
Definizione:
Sia $a$ un numero reale e $n$ un intero positivo. Allora esiste un unico numero reale $x$ tale che $x^n=a$. Tale numero è chiamato radice $n$ esima o radicale n-esimo di $a$ e si indica con la notazione $\sqrt[n]{a}$. Vale quindi la relazione:
$$
\sqrt[n]{a}=x \Longleftrightarrow x^n=a
$$
I numeri radicali sono quei numeri raggiungibili con l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Infatti, sai che $3^2=9$. Ma se ti chiedessi: qual è quel numero che moltiplicato per se stesso dà 9 ? II risultato è proprio la radice quadrata (perché moltiplichiamo il numero per se stesso due volte) di 9 che (ovviamente) è 3.
Non sempre i radicali sono così “belli”, ma sono comunque numeri. Qual è quel numero che moltiplicato per se stesso tre volte dà 7 ? Beh non è un numero bello, e lo indichiamo con $\sqrt[3]{7}$
Proprietà dei radicali
Fortunatamente, anche per i numeri radicali abbiamo delle belle proprietà da usare (quando siamo in difficoltà). Le proprietà dei numeri radicali ci servono per semplificare i calcoli. È utile quindi impararle, ma soprattutto capirle, per evitare di fare calcoli inutili e perdere tempo.
Di seguito ecco un elenco delle proprietà principali dei radicali, con relativa spiegazione:
- $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n s]{a^{m s}}$, ossia moltiplicando l’indice di un radicale per una costante e moltiplicando l’esponente del radicando per tale costante, si ottiene un radicale equivalente a quello di partenza. Ad esempio noi potremo dire che $\sqrt{12} 7=\sqrt{24} 49$, dove il 49 viene fuori dall’elevamento al quadrato del radicando 2 ;
- $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Questa proprietà è molto importante perché permette di trasformare i radicali in potenze con esponente reale. Ad esempio potremo dire che $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$;
- $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n m]{a}$. Nella radice di radice per scrivere tutto sotto forma di un unico radicale è sufficiente moltiplicare gli indici dei radicali tra loro, ottenendo così un unico radicale. Ad esempio $\sqrt[4]{\sqrt[3]{6}}=\sqrt[12]{6}$, è molto simile ad una nota proprietà delle potenze (ossia la potenza di potenza) ;
- $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$. Quando un radicale è elevato ad un certo esponente, tale esponente può essere direttamente inserito nel radicando. Ad esempio $(\sqrt{5})^3=\sqrt{5^3}$.