Preparati per l’esame di Matematica dell’Università. Impara cosa sono e come classificare i punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie. Scopri come trovare l’equazione di un asintoto verticale, orizzontale ed obliquo!
Appunti
Cos’è un asintoto e quali sono i punti di discontinuità? Qual è la definizione di continuità e discontinuità tramite i limiti? Impara come riconoscere le discontinuità di prima, seconda e terza specie. Impara in quali punti e come si cercano gli asintoti. Vediamo quali limiti risolvere per calcolare gli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.
In questa lezione imparerai:
- Punti di discontinuità: definizione di funzione continua, di discontinuità in un punto e di discontinuità di prima, seconda e terza specie
- Asintoti orizzontali e verticali: dove cercare, come calcolare e qual è l’equazione degli asintoti verticali ed orizzontali
- Asintoti obliqui: quando esiste un probabile asintoto obliquo, quando è definito e qual è la sua equazione
Prerequisiti per Punti di discontinuità e asintoti
I prerequisiti per imparare a trovare i punti di discontinuità e gli asintoti sono:
Introduzione ai limiti Funzione continua, calcolo dei limiti e forme indeterminate
Equazione generale della retta e coefficiente angolare
Punti di discontinuità
Una funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ se per ogni punto $x_0$ dell’intervallo è sempre verificato che $\lim _{x \rightarrow x_5} f(x)=f\left(x_0\right)$.
Se una funzione non è continua in un punto $x_0, x_0$ è punto di discontinuità. Esistono 3 tipi di discontinuità:
- discontinuità di prima specie – “a salto”: esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. $\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=l_1 \neq \lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=l_2$
- discontinuità di seconda specie: almeno uno fra il limite destro $\left(\lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)\right)$ e sinistro ( $\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ ) della funzione è infinito o non esiste
- discontinuità di terza specie – “eliminabile“: esiste finito il limite $l$ della funzione nel punto $x_0: \lim _{x \rightarrow z_0} f(x)=l$ – ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure é definita ma non è continua, ossia $f\left(x_0\right) \neq l$
Asintoti orizzontali e verticali
L’asintoto di una curva è una retta che si avvicina sempre di più alla funzione senza però toccarla mai: la distanza tra la retta e la curva tende a zero.
Come trovare e dove cercare un asintoto?
Cerchiamo gli asintoti nei punti in cui la funzione non è definita, oppure all’infinito. Per trovare gli asintoti della funzione $f(x)$, devi quindi calcolare dei limiti. Avrai:
- un asintoto verticale se $\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$. La retta $x=x_0$ è un asintoto verticale per la funzione $f(x)$
- un asintoto orizzontale se $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l$, con $l$ finito. La retta $y=l$ è un asintoto orizzontale per la funzione $f(x)$
Asintoti obliqui
Se il limite allinfinito è ancora un valore infinito abbiamo invece un probabile asintoto obliquo: $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=$ $\pm \infty$
Quando esiste davvero l’asintoto obliquo e come posso trovare la sua equazione?
- Se esiste finito e non nullo il limite $\lim {x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$, allora questo è proprio il coefficiente angolare $\mathrm{m}$ dell’asintoto obliquo: $m=\lim {x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$.
- Se esiste Iim, puoi calcolare anche l’intercetta dell’asintoto obliquo q: $q=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-m x]$.