Impara ad utilizzare le coordinate di un punto su un piano cartesiano e a calcolare la distanza tra due punti (con la stessa ordinata, con la stessa ascissa, in un caso generale) e il punto medio di un segmento.
Appunti
Cosa è un sistema di assi cartesiani? Come si scrivono le coordinate di un punto? Cosa sono le ascisse e le ordinate o gli assi cartesiani? Come si trova la distanza fra due punti?
Cosa è il punto medio e come si trovano le sue coordinate? In questa lezione ci occupiamo proprio di tutte queste formule e della loro dimostrazione! Capiamo insieme cosa è il piano cartesiano e cosa sono le coordinate di un punto.
In questa lezione imparerai:
– Coordinate di un punto su un piano: cosa è un sistema di assi cartesiani e cosa sono e come si scrivono le coordinate
– Distanza tra due punti: formule della distanza fra due punti a seconda della posizione dei due punti e dimostrazioni
– Punto medio di un segmento: cosa è e come si trovano le coordinate del punto medio e dimostrazione delle formule
Prerequisiti per imparare punti e segmenti nel piano cartesiano
I prerequisiti per imparare punti e segmenti nel piano cartesiano sono:
- prodotti notevoli
- radice quadrata.
Come trovare le coordinate di un punto sul piano
Che cos’è il piano cartesiano? A cosa serve? Come si rappresentano i punti?
II sistema di assi cartesiani ortogonali è un modo per rappresentare i punti nel piano. Ma come si costruisce questo sistema?
Traccia due rette (asse $x$ o asse delle ascisse e asse $y \circ$ asse delle ordinate), una orizzontale e una verticale, che si incontrano perpendicolarmente in un punto $O$ che chiamerai origine. Fatto? Perfetto, hai appena disegnato il tuo primo sistema di assi cartesiani ortogonali!
Ogni punto $A$ viene indicato tramite una coppia di coordinate $(x ; y)$ :
- la coordinata $x$ è l’ascissa del punto e mostra quanto ci dobbiamo spostare dall’origine sull’asse delle ascisse;
- la coordinata $y$ è l’ordinata del punto e mostra quanto ci dobbiamo spostare dall’origine sull’asse delle ordinate.
II piano è diviso in quattro parti uguali chiamate quadranti.
I quadranti sono numerati in senso antiorario e sono così caratterizzati:
- I quadrante: in alto a destra, $x$ e $y$ positive;
- II quadrante: in alto a sinistra, $x$ negativa e $y$ positiva;
- III quadrante: in basso a sinistra, $x$ e $y$ negative;
- IV quadrante: in basso a destra, $x$ positiva e $y$ negativa.
Come calcolare la distanza tra due punti
Come si calcola la distanza tra due punti nel piano cartesiano? Sei nella lezione giusta per scoprirlo! Si parte dal calcolo più facile cioè se i punti hanno la stessa ordinata o la stessa ascissa!
Punti con la stessa ordinata.
La distanza di due punti con la stessa ordinata si calcola come valore assoluto della differenza fra le ascisse dei due punti: $A B=\left|x_B-x_A\right|$
Punti con la stessa ascissa.
La distanza di due punti con la stessa ascissa si calcola come valore assoluto della differenza fra le ordinate dei due punti $C D=\left|y_D-y_C\right|$
Ricordati di mettere sempre il modulo (o valore assoluto) perché le misure di un segmento non possono essere mai negative in geometria euclidea!
Caso generale.
La distanza di due punti qualsiasi $A\left(x_A ; y_A\right)$ e $B\left(x_B ; y_B\right)$ si calcola come:
$\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}$
Questa formula si dimostra applicando il teorema di Pitagora.
Come cercare il punto medio di un segmento
Il punto medio di un segmento $A B$ è il punto che ha la stessa distanza da $A$ e da $B$, cioè che divide il segmento a metà.
Indica con $M$ questo punto, in modo che $A M=M B$
Le coordinate del punto medio si trovano come
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ e $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$
Queste formule si dimostrano partendo dalla formula $A M=M B$ e applicando le formule viste nel video precedente nel caso in cui i punti abbiano la stessa ascissa o la stessa ordinata. Nel caso generale applichiamo il teorema del fascio di rette parallele!