Quali sono le proprietà delle relazioni?
Scopri come applicare le proprietà delle relazioni: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Ma ce ne sono altre!
Scopri come capire se una relazione gode di una proprietà con i nostri esercizi svolti!
Appunti
Le relazioni possono godere di alcune proprietà. Ma quali? Forse hai sentito parlare di relazione riflessiva o simmetrica. Ma ce ne sono altre?
Vediamolo insieme in questa lezione sulle proprietà delle relazioni matematiche!
In questa video lezione imparerai:
- Proprietà riflessiva: definizione di proprietà riflessiva di una relazione matematica;
- Proprietà simmetrica e antisimmetrica: definizione di proprietà simmetrica e antisimmetrica di una relazione matematica;
- Proprietà transitiva: definizione di proprietà transitiva di una relazione matematica.
Prerequisiti per imparare le proprietà delle relazioni
I prerequisiti per imparare le proprietà delle relazioni sono:
- insiemi
- relazioni.
Relazioni definite in un insieme
Ora che hai imparato cos’è una relazione, cerchiamo di capire dove si usano in matematica. Cosa succede se creiamo una relazione che ha insieme di partenza uguale all’insieme di arrivo? Abbiamo di fronte una relazione definita in un insieme!
Possiamo classificare queste relazioni in base alle proprietà di cui godono. Le proprietà delle relazioni sono:
- proprietà riflessiva;
- proprietà simmetrica;
- proprietà transitiva;
- proprietà antisimmetrica.
Una relazione può godere di una o più di queste proprietà. È importante capire di quali proprietà gode una relazione perché possiamo conoscere in maniera più approfondita il rapporto tra gli elementi (e risolvere velocemente gli esercizi!).
Proprietà riflessiva
Una relazione gode della proprietà riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso. Cosa significa? Consideriamo un insieme $A$ e una relazione $R$. Questa riflessione ha la proprietà riflessiva se cioè $\forall a \in A \Rightarrow$ $a R a$.
Esempio: consideriamo l’insieme dei numeri naturali $N$ e la relazione $R$ : ” $a$ è uguale a $b$ “. Se prendiamo un numero naturale qualsiasi $a=3$, possiamo dire che ” 3 è uguale $a 3^{\prime \prime}$, quindi vediamo che $3 R 3$. Possiamo fare questa prova con tutti i numeri naturali, vediamo che vale sempre. Questa relazione gode della proprietà riflessiva.
Proprietà simmetrica
Una relazione può godere della proprietà simmetrica.
Come possiamo verificarlo? Se un elemento è in relazione con un altro, vale il viceversa, cioè anche l’altro è in relazione con il primo elemento.
Possiamo scrivere che, se prendiamo $a, b \in A$, la relazione $R$ gode della proprietà simmetrica se $a R b$ e anche $b R$. Scriviamo bene $\forall a, b \in A$ abbiamo che $a R b \Rightarrow b R a$.
Esempio: consideriamo l’insieme $P$ dei poligoni e la relazione $R$ : ” $a$ ha lo stesso numero di lati di $b$ “. Scegliamo $a$ un quadrilatero e $b$ un parallelogramma. Possiamo dire che un quadrilatero ha lo stesso numero di lati di un parallelogramma, ma anche un parallelogramma ha lo stesso numero di lati di un quadrilatero, cioè sempre 4. Allora questa relazione gode della proprietà simmetrica perché:
quadrilatero $R$ parallelogramma $\Rightarrow$ parallelogramma $R$ quadrilatero.
Proprietà transitiva
Un’altra proprietà delle relazioni è la proprietà transitiva. Prendiamo tre elementi a due a due in relazione tra di loro. Consideriamo cioè $a, b, c \in A e$ consideriamo la relazione $R$. Se $a R b$ e $b R c$ allora risulta $a R c$.
Esempio: consideriamo l’insieme $N$ dei numeri naturali e la relazione $R$ : ” $a$ è più piccolo di $b$ “. Consideriamo i numeri 2, 4, 8. Sappiamo che 2 è più piccolo di 4 e che 4 è più piccolo di 8 , quindi $2 R 4 e 4 R 8$. Vediamo chiaramente che 2 è più piccolo di 8 , quindi $2 R 8$. Quindi la relazione $R$ che abbiamo considerato gode della proprietà transitiva.
Proprietà antisimmetrica
Un’altra proprietà delle relazioni è la proprietà antisimmetrica. In un insieme $A$ consideriamo gli elementi $a, b \in A$ e la relazione $R$. Se $a R b$ e $b R a$ allora deve essere $a=b$.
Esempio: puoi verificare nell’insieme dei numeri naturali $N$ che questa proprietà vale per la relazione $R$ : ” $a$ è minore o uguale di $b$ “. Quanto vale che $a R b$ e anche che $b R a$, allora sappiamo che $a=b$.