Impara ad utilizzare le proprietà delle operazioni tra insiemi: idempotenza, commutatività, associativa, assorbimento, distributiva, complementarietà. Impara ad applicare le due Leggi di De Morgan.
Appunti
Studia le proprietà delle operazioni tra insiemi. Impara l’idempotenza e le proprietà commutatività e associativa e distributiva. Scopri l’assorbimento, la complementarietà e le leggi di De Morgan.
In questa video lezione imparerai:
- Idempotenza e commutatività: definizione e applicazione nell’unione e nell’intersezione
- Proprietà associativa: associatività nell’unione e nell’intersezione fra insiemi
- Assorbimento: intersezione dell’unione di due insiemi
- Proprietà distributiva: distributività dell’unione rispetto all’intersezione e dell’intersezione rispetto all’unione
- Complementarietà: definizione e proprietà
- Leggi di De Morgan: complementare dell’unione e dell’intersezione
Proprietà commutativa, associativa e di assorbimento
Vediamo alcune proprietà degli insiemi:
Idempotenza: ogni insieme intersecato o unito a se stesso è l’insieme stesso. $ A \cap A = A $ e $ A \cup A = A $
Commutatività: unione e intersezione godono della proprietà commutativa: $ A \cup B = B \cup A $ e £$ A \cap B = B \cap A $
Associatività (intersezione): l’intersezione di un insieme $A$ con l’intersezione di altri due insiemi $B$ e $C$ è uguale all’intersezione di $C$ con l’intersezione di $A$ e $B$: $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $
Associatività (unione): l’unione di un insieme $A$ con l’unione di altri due insiemi $B$ e $C$ è uguale all’unione di $C$ con l’unione di $A$ e $B$: $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
Assorbimento: l’unione di $A$ con l’intersezione tra $A$ e un altro insieme $B$ è uguale ad $A$. Scritto in simboli: $ A \cup (A \cap B) = A $ L’intersezione di $A$ con l’unione di $A$ e $B$ è uguale ad $A$. Scritto in simboli: $ A \cap (A \cup B) = A $
Altre proprietà e leggi di De Morgan
Ecco altre proprietà degli insiemi:
Distributività dell’intersezione rispetto all’unione: l’intersezione dell’insieme $A$ con l’insieme $ B \cup C $ è uguale all’unione degli insiemi $ A \cap B $ e $A \cap C $.
Distributività dell’unione rispetto all’intersezione: l’unione dell’insieme $A$£ con l’insieme £$ B \cap C $£ è uguale all’intersezione degli insiemi $ A \cup B $ e $A \cup C $.
Complementarietà: se $U$ è l’insieme Universo e $A$ un insieme appartenente ad $U$, si definisce complementare (assoluto) di $A$ l’insieme di tutti gli elementi di $U$ che non appartengono ad $A$.
Proprietà:
- L’insieme $A$ intersecato al suo complementare è l’insieme vuoto.
- L’insieme $A$ unito al suo complementare è l’insieme Universo.
1° legge di De Morgan: il complementare dell’intersezione è uguale all’unione dei complementari, cioè: $ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} $
2° legge di De Morgan: il complementare dell’unione è uguale all’intersezione dei complementari, cioè: $ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $