Con gli operatori logici, possiamo formare proposizioni composte: per semplificare il calcolo del valore di verità di queste proposizioni più complesse, possiamo utilizzare delle proprietà degli operatori logici che possono essere utili per manipolare le proposizioni senza alterare il loro valore di verità. Per la congiunzione e la disgiunzione valgono le proprietà di idempotenza, commutatività, associatività, miste (distributività e proprietà assorbenti).
Appunti
Abbiamo visto che a partire da proposizioni semplici è possibile formare proposizioni composte grazie alla congiunzione e alla disgiunzione.
Le proprietà sono le ‘regole’ con le quali possiamo ‘manipolare’ le proposizioni semplici senza cambiare il loro valore di verità.
Per la congiunzione e la disgiunzione valgono le proprietà di:
- Idempotenza
- Commutatività
- Associatività
- Miste: Distributività e Proprietà assorbenti
Prerequisiti per imparare le proprietà degli operatori logici
I prerequisiti per imparare le proprietà degli operatori logici sono:
operatori logici
congiunzione e disgiunzione
proprietà delle operazioni con gli insiemi.
Le proprietà della congiunzione e della disgiunzione
Per la congiunzione e la disgiunzione valgono le seguenti proprietà:
- idempotenza;
- commutatività;
- associativitä;
- miste (distributivitả e proprietả assorbenti);.
Si scrivono:
- $P \wedge P=P$ (idempotenza della congiunzione);
- $P \vee P=P$ (idempotenza della disgiunzione inclusiva);
- $P \wedge Q=Q \wedge P$ (commutativa della congiunzione);
- $P \vee Q=Q \vee P$ (commutativa della disgiunzione inclusiva);
- $(P \wedge Q) \wedge R=P \wedge(Q \wedge R)$ (associativa della congiunzione);
- $(P \vee Q) \vee R=P \vee(Q \vee R)$ (associativa della disgiunzione inclusiva);
- $P \vee(Q \wedge R)=(P \vee Q) \wedge(P \vee R)$
(distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione); - $P \wedge(Q \vee R)=(P \wedge Q) \vee(P \wedge R)$
(distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione); - $P \wedge(Q \vee P)=P ; P \vee(Q \wedge P)=P$ (proprietà assorbenti).
Idempotenza
$P$ : il mio gatto è bianco
Grazie alla proprietả di idempotenza possiamo comporre questa proposizione con se stessa, sia mediante la congiunzione sia mediante la disgiunzione, ottenendo una proposizione composta che presenta il suo stesso valore di verità:
$P \wedge P$ : il mio gatto è bianco ed il mio gatto è bianco (è vera se $P$ è vera, è falsa se $P$ è falsa)
$P \vee P$ : il mio gatto è bianco o il mio gatto è bianco.
Possiamo sempre comporre una proposizione con se stessa mediante congiunzione e disgiunzione tutte le volte che vogliamo, senza alterare il suo valore di verità!
Attenzione! La proposizione composta con se stessa si comporta come lo zero nell’addizione tra numeri, owvero:
$P \wedge P$ è sempre equivalente a $P \rightarrow P \wedge P=P$
$a$ più zero è sempre uguale ad $a \rightarrow a+0=a$
Commutatività
Consideriamo adesso la proprietà di commutatività degli operatori che si ottiene componendo due o più proposizioni semplici:
$P$ : il mio gatto è bianco
$Q$ : il mio gatto ha le strisce scure.
Componendo le due proposizioni con la congiunzione otteniamo:
$P \wedge Q$ : il mio gatto è bianco ed il mio gatto ha le strisce scure (è vera se $P \in Q$ sono entrambe vere, falsa in tutti gli altri casi).
La proprietả commutativa dice che possiamo scambiare l’ordine delle proposizioni senza cambiare il valore di veritả della proposizione composta, ovvero $P \wedge Q$ è logicamente equivalente a $Q \wedge P \rightarrow P \wedge Q=Q \wedge P$.
Ovviamente questo vale per qualunque valore di verità abbiano le proposizioni. Se $P$ è vera $Q$ è falsa, $P \wedge Q$ è falsa e lo stesso vale per $Q \wedge P$ !
Componendo le due proposizioni con la disgiunzione otteniamo: $P \vee Q$ : il mio gatto è bianco o ha le strisce scure.
Ovviamente questo vale per qualunque valore di verità abbiano le proposizioni: $P \vee Q$ è logicamente equivalente a $Q \vee P $
Attenzione! Anche in questo caso, la proprietà commutativa per gli operatori logici è analoga alla proprietà commutativa nell’addizione di numeri.
$$
{a+b=b+a}
$$
Associatività
Per la congiunzione e per la disgiunzione vale anche la proprietà di associatività.
Dati tre numeri $a, b, c$, la proprietà associativa per la somma è $(a+b)+c=a+(b+c)$. Analogamente per le proposizioni logiche, la proprietà associativa degli operatori logici congiunzione e disgiunzione è, date tre proposizioni $P, Q$ e $R$ :
$$
\begin{aligned}
& (P \wedge Q) \wedge R=P \wedge(Q \wedge R) \
& (P \vee Q) \vee R=P \vee(Q \vee R)
\end{aligned}
$$
Cosa vogliono dire? Per capirlo consideriamo un esempio:
- $P$ : questa carta è un asso;
- Q: questa carta è di cuori;
- $R$ : questa carta vale meno di 3
e consideriamo il caso della congiunzione, allora la proprietà associativa dice che, considerare $P \wedge Q$ e popi fare la congiunzione con $R$ è come considerare la congiunzione tra $P e Q \wedge R$. Infatti, controllando le tavole di verità, possiamo vedere che l’unico caso in cui la proporzione $(P \wedge Q) \wedge R$ è vera è quando sono vere tutte le proporzioni; lo stesso vale per la proporzione $P \wedge(Q \wedge R)$.
Otteniamo lo stesso risultato anche per la disgiunzione e per qualunque valore di verità delle proposizioni.
Proprietà miste: proprietà distributiva
Esistono anche delle proprietà che coinvolgono contemporaneamente congiunzione e disgiunzione, ovvero delle proprietả miste.
Le proprietà distributive sono:
della disgiunzione rispetto alla congiunzione e
della congiunzione rispetto alla disgiunzione.
$$
\begin{aligned}
& P \vee(Q \wedge R)=(P \vee Q) \wedge(P \vee R) \
& P \wedge(Q \vee R)=(P \wedge Q) \vee(P \wedge R) .
\end{aligned}
$$
Anche per queste operazioni è possibile ritrovare l’analogia con le proprietả distributive di somma e prodotto tra numeri, ad esempio per tre numeri $a, b, c: a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$.
Ma come funzionano queste due proprietà? Facciamo un esempio della prima proprietà distributiva (della disgiunzione rispetto alla congiunzione):
$P$ : Alice porta gli occhiali $Q$ : Alice ha i capelli corti $R$ : Alice indossa un vestito azzurro allora:
$Q \wedge R$ : “Alice ha i capelli corti e indossa un vestito azzurro”;
$P \vee Q$ : “Alice porta gli occhiali o ha i capelli corti.”;
$P \vee R$ : “Alice porta gli occhiali o indossa un vestito azzurro”.
Dunque, $P \vee(Q \wedge R)$ è logicamente equivalente a $(P \vee Q) \wedge(P \vee R)$. Lo stesso vale per la seconda proprietà distributiva e per tutti i valori di verità delle proposizioni.
Proprietà miste: leggi di assorbimento
Delle proprietả miste fanno parte anche due leggi di assorbimento:
$$
\begin{aligned}
& P \wedge(Q \vee P)=P \
& P \vee(Q \wedge P)=P .
\end{aligned}
$$
Mostriamo la prima proprietà con un esempio:
$P$ : la lampadina rossa è accesa
$Q$ : la lampadina blu è spenta
Per qualunque valore di $P \in Q, P \wedge(Q \vee P)$ è sempre logicamente equivalente a $P$.
Se $P$ è vera e $Q$ è vera, $Q \vee P$ è vera e $P \wedge(Q \vee P)$ è vera ed equivalente a $P$.
Lo stesso vale se $P$ e $Q$ sono entrambe false, in tal caso $P \wedge(Q \vee P)$ è falsa.
E lo stesso accade nel caso in cui $P$ è vera $e Q$ è falsa o viceversa, in cui $P \wedge(Q \vee P)$ è rispettivamente vera o falsa!