Impara le operazioni base con i radicali: moltiplicazione, divisione, somma, differenza. Nella lezione successiva potrai trova le operazioni più complesse e imparare come trasportare i fattori dentro e fuori il simbolo di radice.
Appunti
Operazioni con i radicali? Come si fanno, perché si fanno cosi? Non hai capito come fare la moltiplicazione, divisione, somma algebrica e potenza fra radicali? Non sai trasportare i termini da dentro a fuori la radice? Questa lezione è fatta apposta per te!
Vedrai come risolvere le espressioni con i radicali e studierai tutti i tipi di operazioni!
La moltiplicazione e la divisione sono le operazioni più semplici: devi solo stare attento se i due radicali hanno lo stesso indice o no, ma in quest’ultimo caso non preoccuparti dovrai trasformarli in modo da averli dello stesso indice! E ora: $\sqrt[n]{a}$. $\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$ oppure per la divisione $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
Infine vedrai che la somma algebrica di radicali può essere fatta solo se i radicali sono radicali simili cioè hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.
Prerequisiti per imparare le operazioni con i radicali
I prerequisiti per imparare le operazioni con i radicali sono:
Moltiplicazione e divisione con i radicali
Se non sai come fare la moltiplicazione o la divisione tra radicali sei nel post giusto!
Se vuoi moltiplicare (o dividere) due numeri radicali con lo stesso indice è facilissimo: otterrai un radicale con lo stesso indice di quelli di partenza e come radicando il prodotto (il quoziente) dei due radicandi.
Se invece vuoi moltiplicare (o dividere) due numeri radicali con indice diverso devi prima trasformare i due radicali allo stesso indice e poi moltiplicarli!
Moltiplicazione tra due radicali:
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$ con a e b reali, $a \geq 0, b \geq 0$ e $n$ naturale
Un esempio:
$$
\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5 \cdot 25}=\sqrt[3]{5 \cdot 5^2}=\sqrt[3]{5^3}=5
$$
Nel caso gli indici non fossero uguali bisogna trasformare i radicali equivalenti con lo stesso indice. Quindi si fa il m.c.m. degli indici dati. Per esempio:
$\sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{y^3}$ il m.c.m tra 2 e $5=10$. Quindi trasformiamo le due radici.
$$
\sqrt[25]{x^5} \cdot \sqrt[5 \cdot 2]{y^{3 \cdot 2}}=\sqrt[10]{x^5} \cdot \sqrt[10]{y^6}=\sqrt[10]{x^5 \cdot y^6}
$$
Divisione tra due radicali:
Il quoziente di due radicali(il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi:
$\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a: b}$ con a e b reali, $a \geq 0, b \geq 0$ e $n$ naturale, $n \neq 0$
Esempi:
$$
\sqrt[3]{x^2}: \sqrt[3]{x^2 y}=\sqrt[3]{x^2: x^2 y}=\sqrt[3]{\frac{1}{y}}
$$
Se gli indici sono diversi, si rendono prima uguali con il m.c.m. e poi si effettua la divisione.
$\sqrt[3]{a}: \sqrt[4]{b}$ il m.c.m. tra 3 e 4 è $=12$
$$
\sqrt[3 \cdot 4]{a^4}: \sqrt[43]{b^3}=\sqrt[12]{a^4}: \sqrt[12]{b^3}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^3}}
$$
Addizione e sottrazione di radicali simili e non simili
E sempre possibile fare la somma o la differenza tra due numeri radicali? La risposta è no!
La somma o la differenza tra due numeri radicali è possibile solo se i radicali sono simili, cioè se sono radicali con lo stesso indice e con radicando uguale. E’ come per i monomi, ti ricordi?
La somma algebrica di radicali simili è il radicale simile a quelli di partenza che ha come coefficiente numerico la somma algebrica dei coefficienti.
$\begin{aligned} & a \sqrt[n]{r}+b \sqrt[n]{r}=(a+b) \sqrt[n]{r} \ & a \sqrt[n]{r}-b \sqrt[n]{r}=(a-b) \sqrt[n]{r}\end{aligned}$
Esempio. Considero la somma di due radicali simili.
$$
2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}
$$
Metto in evidenza il radicale per sommare i coefficienti.
$$
(2+3) \sqrt{2}=5 \sqrt{2}
$$
In generale, se l’indice di radice è lo stesso ma il radicando è diverso, la somma dei radicali non è uguale alla radice della somma dei radicandi.
$$
\sqrt[n]{p}+\sqrt[n]{q} \neq \sqrt[n]{p+q}
$$
Lo stesso vale per la sottrazione
$$
\sqrt[n]{p}-\sqrt[n]{q} \neq \sqrt[n]{p-q}
$$
E se i radicali non sono simili? Facile! La somma viene semplicemente lasciata indicata.