Le operazioni con gli insiemi sono l’unione e l’intersezione.
L’unione di due insiemi è un insieme a cui appartengono gli elementi di uno o dell’altro insieme. L’intersezione di due insiemi è un nuovo insieme che contiene gli elementi che hanno in comune i due insiemi iniziali.
Appunti
Un insieme è una collezione di elementi di qualsiasi tipo.
Abbiamo visto cosa significa che un elemento appartiene o non appartiene ad un insieme, qual è la definizione di insieme universo e insieme vuoto.
E se abbiamo due insiemi, cosa possiamo fare? Ogni insieme sarà formato da elementi che hanno una proprietà comune.
Possiamo confrontare gli elementi di questi insiemi e fare delle operazioni, proprio come con i numeri!
Le operazioni tra insiemi sono l’unione e l’intersezione.
Attenzione! Unire due insiemi non significa sommare i loro elementi, e fare l’intersezione non significa moltiplicarli!
L’unione tra due insiemi è un nuovo insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi iniziali, ovviamente senza ripetizioni. Si dice quindi che l’insieme unione contiene gli elementi del primo o del secondo insieme di cui facciamo l’unione.
L’intersezione invece è un nuovo insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi che intersechiamo.
In questa lezione trovi esempi svolti per prendere confidenza con il concetto di unione e intersezione tra insiemi.
Prerequisiti per imparare le operazioni con gli insiemi
Prerequisiti per imparare le operazioni con gli insiemi:
Come si fanno le operazioni tra gli insiemi?
Abbiamo ripassato tutte le operazioni con i numeri e con le frazioni. Ora possiamo chiederci: si possono fare le operazioni con gli insiemi? Sono uguali alle operazioni tra numeri?
È possibile svolgere le operazioni con gli insiemi! Gli insiemi non sono oggetti fissi, ma puoi aggiungere o togliere elementi, far “interagire” due o più insiemi… Le operazioni con gli insiemi non sono più addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ma si chiamano unione e intersezione.
Unione di insiemi
L’unione di due (o più) insiemi è l’insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono ai due insiemi. L’unione dei due insiemi $A$ e $B$ si indica $A \cup B$ e contiene quindi gli elementi che appartengono all’insieme $A$ oppure all’insieme $B$, cioè appartengono almeno ad uno dei due insiemi: $A \cup B=${$x \mid x \in$ $A$ oppure $x \in B$}
Esempio: $A=${$x \mid x$ è un crostaceo } e $B=${$x \mid x$ è un mollusco }. L’insieme $A \cup B=${$x \mid x$ è un crostaceo o è un mollusco}.
Esempio: se $C=${ a , b , c , d , e , f , g } e $D=${ e , f , g , h , i , l } allora $C \cup D=${ a , b , c , d , e , f , g , h , i , l }
Attenzione! Se $A \subset B$, allora $A \cup B=B$.
Intersezione di insiemi
L’intersezione di due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad un insieme che all’altro. L’intersezione dei due insiemi $A$ e $B$ si indica $A \cap B$ e contiene gli elementi comuni all’insieme $A$ e all’insieme $B$, cioè che appartengono ad entrambi gli insiemi: $A \cap$ $B=${$x \mid x \in A$ e $x \in B$}={$x \mid x \in A, x \in B$}
Esempio: $A=${$x \mid x$ è una città del Piemonte } e $B=$ {$x \mid x$ è un capoluogo di regione }. L’insieme $A \cap B=$ {Torino} contiene Torino perché è il capoluogo del Piemonte e quindi una città del Piemonte.
Attenzione! Se $A \subset B$, allora $A \cap B=A$.
Due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto.
Esempio: $A=${$x \mid x$ è una città del Piemonte } e $C=$ {$x \mid x$ è una città della Lombardia }. L’insieme intersezione è vuoto perché una città non può essere contemporaneamente in Piemonte e in Lombardia: $A \cap C=\varnothing . A e C$ sono disgiunti.