Anche la geometria, come la matematica, ha i suoi enti fondamentali, cioè quegli oggetti che non hanno una vera e propria definizione, ma da cui si sviluppa tutta la geometria: il punto, la retta, il piano.
Appunti
Gli elementi di geometria piana sono oggetti geometrici che utilizziamo per spiegare assiomi e teoremi in geometria come in aritmetica e algebra.
Il primo matematico che iniziò a formulare teoremi fu Talete, ma una delle opere fondamentali nel campo della geometria fu Euclide con “Gli Elementi”. La geometria di Euclide è soprattutto la geometria piana che studia le figure in due dimensioni.
Conosceremo meglio le figure senza dimensioni, cioè i punti, le figure con una dimensione, le linee, e quelle con due dimensioni, i piani.
Impara tutti i concetti primitivi della geometria piana e allenati con gli esercizi spiegati!
Prerequisiti per imparare a trattare gli oggetti geometrici fondamentali
Prerequisiti per imparare a trattare gli oggetti geometrici fondamentali
Addizione
Sottrazione
Il punto
Il punto è un oggetto che non ha dimensioni: né lunghezza, né larghezza, né spessore. È una posizione.
Il punto è un oggetto piccolissimo, ma molto importante: lo indichiamo con la lettera maiuscola, per esempio $P, Q …$
Un punto non ha nessuna caratteristica particolare, se non la posizione. Tre o più punti sono allineati se appartengono alla stessa retta. Quattro o più punti sono complanari se sono contenuti in un piano.
Per un punto passano infinite rette. Per due punti distinti passa una e una sola retta.
La linea, la retta e le sue parti
I punti sono oggetti senza dimensioni. Proviamo a salire ad una dimensione e troviamo la linea: è una figura geometrica che non ha spessore. La linea ha una sola dimensione: la lunghezza. Possiamo dire che una linea è una successione infinita di punti.
Una linea può essere di diversi tipi: curva, spezzata, mista, aperta, chiusa, intrecciata… Ci sono poi delle linee particolari: la retta è una linea dritta che continua all’infinito in entrambe le direzioni. La indichiamo con una lettera minuscola, per esempio$r, s, t$ e la rappresentiamo con un tratteggio alle due estremità.
Una retta che ha un inizio, ma non una fine è una semiretta: ha un punto di partenza, chiamato origine, ma continua all’infinito in una sola direzione. Di solito la indichiamo utilizzando l’origine e un altro punto della semiretta: per esempio scriviamo la semiretta $OA$.
Hai mai giocato al gioco “unisci i puntini”? Ci sono una serie di puntini numerati da collegare con linee rette seguendo l’ordine dei numeri. La linea retta che tracciamo per unire due punti qualsiasi è un segmento: un segmento è una parte di retta compresa tra due punti che si chiamano estremi.
Operazioni con i segmenti
Un segmento è una parte di retta compresa tra due punti che sono i suoi estremi. Ogni segmento è caratterizzato da una lunghezza, cioè la distanza tra i due estremi. Il punto che divide il segmento in due parti uguali si chiama punto medio: non è altro che un punto che si trova alla stessa distanza dai due estremi del segmento.
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. Due segmenti sono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, appartengono alla stessa retta.
Possiamo confrontare la lunghezza di due segmenti semplicemente sovrapponendoli in modo che abbiano uno degli estremi in comune. Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza: sovrapponendoli coincidono perfettamente. Altrimenti vedremo dalla sovrapposizione quale è più lungo e quale più corto. La lunghezza di un segmento non è altro che un numero, una misura. Quindi anche con i segmenti possiamo fare delle operazioni:
- il segmento somma è il segmento che otteniamo da due segmenti adiacenti che ha per lunghezza la somma delle lunghezze dei due segmenti;
- un segmento è multiplo di un altro quando è la somma di due o più segmenti congruenti a quest’ultimo.
Il piano
Ti è mai capitato di prendere un ascensore? Primo piano, secondo piano, terzo piano…
Un piano è una superficie che si estende in tutte le direzioni all’infinito. È un oggetto di due dimensioni: la lunghezzae la larghezza.
Non tutti gli oggetti si trovano su uno stesso piano. Per esempio possiamo avere un libro sullo scaffale e una penna sul tavolo: si trovano sopra a piani diversi perché sono ad altezze diverse.
E cosa possiamo dire delle stelle? Le stelle si trovano nello spazio: a noi sembra di vederle tutte sullo stesso piano, ma in verità si trovano a distanze diverse dalla Terra, cioè su piani diversi. Infatti lo spazio si estende in tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.