La matematica dell’università è finora molto simile a quella delle scuole superiori. In questa lezione, imparerai che cos’è l’o piccolo di cui si sente tanto parlare, ma sembra inafferrabile. Vedrai anche come calcolare i limiti del rapporto tra infinitesimi con l’asintotico, usando cioè gli infinitesimi equivalenti.
Appunti
Per fare le cose fatte bene, è necessario spendere qualche parola in più sul concetto di infinitesimo, che ci sarà molto utile più avanti nello studio delle derivate.
Un infinitesimo, per $x \rightarrow x_0$, è una funzione $f(x)$ che ha limite uguale a 0 quando $x \rightarrow x_0$.
Capita spesso di calcolare limiti che presentano la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ che non sono altro che limiti di rapporti tra infinitesimi. In questa lezione vediamo come calcolare questi limiti velocemente, senza bisogno di ricorrere a tecniche strane.
Entrerà in gioco anche il famoso o piccolo. Questo concetto tornerà a tormentarci quando dovremo studiare i polinomi di Taylor. Capito questo concetto, sarà più facile calcolare limiti ancora più complessi!
Prerequisiti per o-piccolo e calcolo asintotico dei limiti
I prerequisiti per imparare o piccolo e calcolo asintotico dei limiti sono:
Introduzione ai limiti
Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi
Infinitesimi e loro ordine
Definizione di infinitesimo per $x \rightarrow x_0$.
Una funzione $f(x)$ è un infinitesimo per $x \rightarrow x_0$ se il $\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=0$. Ciò che ci interessa è calcolare i limiti di rapporti tra infinitesimi, cioè calcolare i limiti del tipo $\lim {x \rightarrow z_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ con $f(x)$ e $g(x)$ entrambi infinitesimi per $x \rightarrow x_0$ –
Per farlo, dobbiamo capire quale funzione “va a 0 più velocemente”. Dobbiamo quindi calcolare l’ordine di infinitesimo:
- se $\lim {x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\ell \neq 0$ e finito, allora $f(x)$ e $g(x)$ sono infinitesimi dello stesso ordine, cioè arrivano a 0 alla stessa velocità. Esempio: $\lim {x \rightarrow 0} \frac{x^2+2 x}{x}=2$ e le due funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine
- se $\lim {x \rightarrow x_n} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ allora $f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$, cioè $f(x)$ arriva a 0 prima di $g(x)$. Esempio: $\lim {x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^3}{x-1}=0$ quindi $f(x)=(x-1)^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g(x)=x-1$
- se $\lim {x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}= \pm \infty$ allora $f(x)$ è un infinitesimo di ordine inferiore a $g(x)$, cioè $f(x)$ arriva a 0 più lentamente di $g(x)$. Esempio: $\lim {x \rightarrow 0} \frac{x(x+1)}{x^2}=+\infty$ quindi $f(x)=x(x+1)$ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $g(x)=x^3$
- se $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ non esiste, allora gli infinitesimi $f(x)$ e $g(x)$ non sono confrontabili.
La domanda è: come calcolare l’ordine di infinitesimo?
Ordine di un infinitesimo
Prendiamo un infinitesimo $f(x)$ per $x \rightarrow x_0$. Come facciamo a calcolare il suo ordine di infinitesimo?
Confrontiamolo con un infinitesimo campione $\varphi(x)$ (si legge “fi di $x “$ “) che ha la forma:
- $\varphi(x)=x-x_0$ se $x \rightarrow x_0$;
- $\varphi(x)=\frac{1}{x} \operatorname{se} x \rightarrow \infty$.
Allora diciamo che $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $\alpha>0$ se $\lim {x \rightarrow x \vartheta} \frac{f(x)}{|\varphi(x)|^2}=\ell \neq 0$.
ESEMPIO: calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione $f(x)=x^3 \operatorname{sen} x$ per $x \rightarrow 0$. In questo caso, $x_0=0$ quindi prendiamo la funzione campione $\varphi(x)=x$ e calcoliamo il limite del rapporto $\frac{f(x)}{\varphi(x)^a}$ per $x \rightarrow 0$. Vogliamo trovare $\alpha$ in modo che il limite sia finito e diverso da 0 : $$ \lim {x \rightarrow 0} \frac{x^3 \operatorname{sen} x}{x^a} \text {. }
$$
Osserviamo che, se dividessimo il fattore $x^3$ per se stesso, il limite del rapporto sarebbe uguale a 1 . Quindi $\alpha \geq 3$. Ma come ci comportiamo con il fattore sen $x$ ? Usiamo i limiti notevoli! Sappiamo che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1$ quindi per il secondo fattore basta avere 1 all’esponente. Allora sommiamo i due esponenti richiesti e risulta $\alpha=3+1=4$. L’ordine di infinitesimo della funzione $f(x)=x^3 \operatorname{sen} x$ è $\alpha=4$.
o piccolo: definizione
Vediamo come funzione l’algebra degli o piccolo:
- $o\left(x^n\right) \pm o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$;
- $c \cdot o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$;
- $x^m \cdot o\left(x^n\right)=o\left(x^{n+m}\right)$;
- $o\left(x^m\right) \cdot o\left(x^n\right)=o\left(x^{n+m}\right)$;
- $o\left(o\left(x^n\right)\right)=o\left(x^n\right)$;
- $o\left(x^n+o\left(x^n\right)\right)=o\left(x^n\right)$;
- se $n<m$ allora $o\left(x^n\right)+o\left(x^m\right)=o\left(x^n\right)$.
Parte principale e parte complementare di un infinitesimo
Vediamo un’applicazione di quello che abbiamo visto prima riguardo gli infinitesimi. Prendiamo una funzione $f(x)$ tale che $\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\ell$. Dalla definizione di limite, sappiamo che vale $\lim {x \rightarrow x_0}(f(x)-\ell)=0$. Allora la funzione $\delta(x)=f(x)-\ell$ è un infinitesimo per $x \rightarrow x_0$.
Cosa ci dice questo? Beh riscriviamo $\delta(x)=f(x)-\ell$ isolando $f(x)$ eabbiamo $f(x)=\ell+\delta(x)$. Abbiamo quindi riscritto la nostra funzione come il limite per $x \rightarrow x_0$ della funzione più un infinitesimo.
Applichiamo questo risultato a ciô che abbiamo visto prima. Prendiamo una funzione $f(x)$, infinitesimo di ordine $\alpha$ per $x \rightarrow x_0$. Abbiamo visto che questo è equivalente a scrivere $\lim {x \rightarrow \pi n} \frac{f(x)}{\left.p(x)\right|^a}=\ell \neq 0$. Sappiamo, per quanto detto prima, che esiste un infinitesimo $\delta(x)$ per $x \rightarrow x_0$ tale che $\frac{f(z)}{|p(x)|^a}=\ell+\delta(x)$. Ora isoliamo la funzione $f$ e abbiamo $$ f(x)=\ell \cdot[\varphi(x)]^\alpha+\delta(x)[\varphi(x)]^\alpha . $$
Chiamiamo parte principale la funzione $\ell \cdot[\varphi(x)]^\alpha$ e parte complementare $\delta(x)[\varphi(x)]^\alpha$. Per come abbiamo ragionato, la parte principale è un infinitesimo dello stesso ordine della funzione $f(x)$ mentre la parte complementare è un infinitesimo di ordine superiore a $f(x)$.
A cosa serve tutto cio’? Beh diciamo che la funzione è la parte principale sono due infinitesimi equivalenti, cioè $\lim {z \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{\ell\left(\left.\varphi(x)\right|^a\right.}=1$.
Questo ci dice che, awicinandosi a $x_0$, la funzione e la parte principale sono, praticamente, la stessa cosa. L’errore che si commette nell’approssimazione è uguale alla parte complementare e diventa sempre più piccolo man mano che ci avviciniamo a $x_0$.
ESEMPIO: sappiamo che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1$ quindi possiamo scrivere $\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1+\delta(x) \operatorname{con} \delta(x) \rightarrow 0$ per $x \rightarrow 0$. Allora $\operatorname{sen} x=x+x \delta(x)$. Questo significa che vicino a 0 la funzione sen $x$ e $x$ assumono “praticamente” gli stessi valori, con un errore minimo. Possiamo scrivere che $\operatorname{sen} x \sim x$ in un intorno di $x=0$. A conferma di ció, vediamo come i grafici di queste due funzioni sono pressoché identici vicino a 0 , ma l’errore aumenta man mano che ci allontaniamo da questo valore.