Le frazioni e alcuni numeri con la virgola fanno parte dell’insieme dei numeri razionali.
Le frazioni si possono rappresentare su una retta orientata: per farlo è importante imparare a confrontare i numeri scritti sotto forma di frazioni.
Appunti
In matematica le frazioni sono una divisione tra due numeri interi. A quale insieme numerico appartengono le frazioni? Le frazioni apparenti sono numeri interi. Le frazioni, in generale (anche quelle proprie e improprie) sono numeri razionali. L’insieme dei numeri razionali è un’ampliamento di quello degli interi. Nei numeri razionali puoi sempre fare la divisione tra due numeri interi: il risultato si può scrivere sotto forma di frazione o di numero con la virgola!
I numeri razionali si possono rappresentare sulla retta orientata, così come i numeri interi. Ricorda sempre di scegliere I’unità di misura poi impara a rappresentare le frazioni riconoscendo in quante parti viene suddiviso l’intero, cioè la tua unità di misura. Per rappresentare le frazioni è importante saperle confrontare. Quando studierai le disequazioni, il piano cartesiano, e anche quando farai lo studio di funzione dovrai saper confrontare le frazioni tra loro e con gli altri numeri per non sbagliare i passaggi, il risultato ed i grafici! Impara a riconoscere quando una frazione è maggiore di un’altra: puoi usare il prodotto in croce oppure il minimo comune denominatore! Sfrutta la definizione di frazione propria e impropria per valutare velocemente la correttezza dei tuoi calcoli e ragionamenti! Se trovi che una frazione propria, cioè minore di 1, è maggiore di una impropria, cioè maggiore di 1 , qualcosa non va: ricontrolla i calcoli e tutti i passaggi!
Prerequisiti per imparare come rappresentare sulla retta e confrontare i numeri razionali
I prerequisiti per imparare come rappresentare sulla retta e confrontare i numeri razionali sono:
- definizione di $N$
- addizione e sottrazione in $N$
- moltiplicazione e divisione in $N$.
L’insieme dei numeri razionali e le frazioni
Hai studiato i numeri naturali ed hai visto che la sottrazione non è sempre un’operazione interna, cioè non è detto che la sottrazione tra due numeri naturali dia un numero naturale. Per esempio $5-9$ è un’operazione che non ha senso nei naturali. La sottrazione si può fare solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. Per poter risolvere questo problema hai imparato cosa sono e quali operazioni si possono fare nei numeri interi relativi, dove $5-9=-4$. Ma nei numeri relativi la divisione non è sempre un’operazione interna, lo è solo se il divisore è multiplo del dividendo. Per esempio $4: 2=2$ è un’operazione interna, ma $2: 3=$ ?, non lo è!
Ora, per risolvere questo problema introduciamo l’insieme dei numeri razionali. Diciamo che l’insieme $Q$ dei numeri razionali è un’ampliamento dell’insieme $Z$ dei numeri interi relativi. Nei razionali è sempre possibile fare la divisione tra due numeri interi e il risultato è una frazione, oppure un numero con la virgola. Per esempio $2: 3=\frac{2}{3}=0,6666666 \ldots$, oppure $1: 2=\frac{1}{2}=0,5
C’è un operazione che non si può fare nei razionali?
C’è qualche numero che non si può scrivere sotto forma di frazione? Sì, alcune radici! Per esempio $\sqrt{2}$ è un numero che non si può scrivere come divisione di due interi e quindi come frazione. Questi numeri fanno parte dell’insieme degli irrazionali: sono numeri con cifre dopo la virgola illimitate e non periodiche!
Confronto tra numeri razionali
Hai le frazioni $\frac{1}{2}$ e $\frac{3}{4}$, come fai a capire qual è la più grande?
Confrontare due frazioni che hanno lo stesso denominatore è semplice: è più grande quella con il numeratore maggiore.
Esempio: $\operatorname{tra} \frac{3}{7}$ e $\frac{5}{7}$ la frazione maggiore è $\frac{5}{7}$. Se hai una torta divisa in 7 fette ne mangi di più se ne prendi 3 fette piuttosto che 2 !
Se le frazioni hanno lo stesso numeratore, allora la frazione più grande è quella con il denominatore minore. Ripensiamo alla torta, ne hai una divisa in 5 fette e ne mangi 3 , ne hai mangiato i $\frac{3}{5}$. Se invece ne mangi 3 parti e la torta è divisa in 7 , le fette sono più piccole, quindi ne mangi meno! Infatti $\frac{3}{5}>\frac{3}{7}$
Se i denominatori e i numeratori delle due frazioni sono diversi, allora puoi ricondurre le frazioni allo stesso denominatore. Scrivi le frazioni equivalenti a quelle di partenza ma con denominatore uguale trovando il minimo comune denominatore, cioè il minimo comune multiplo tra i denominatori: ottieni due frazioni equivalenti a quelle di partenza ma con lo stesso denominatore. Qual è la frazione maggiore tra $\frac{3}{7}$ e $\frac{2}{28}$. II m.c.m. $(7,28)=28$. Le frazioni equivalenti sono $\frac{12}{28}$ $e \frac{2}{28}$, quindi la frazione più grande è $\frac{12}{28}$ perché ha il numeratore più grande!
Per confrontare due frazioni con il prodotto in croce devi moltiplicare il numeratore della prima con il denominatore della seconda ed il denominatore della prima con il numeratore della seconda. Se il primo prodotto è maggiore, allora la prima frazione è la più grande!
Esempio: tra $\frac{2}{5}$ e $\frac{6}{21}$ qual è la più grande?
Faccio il prodotto incrociato: $2 \cdot 21=42$ e $5 \cdot 6=$ 30 . Visto che $42>30$ possiamo dire che $\frac{2}{5}>\frac{6}{21}$
Come rappresentare i numeri razionali sulla retta
Ti capiterà di dover rappresentare su una retta i numeri razionali. È un po’ più complicato che con i numeri interi, perché hai dei numeri con la virgola.
Prima di tutto individua un segmento che userai come unità di misura.
Poi è importante capire se la frazione che devi posizionare sulla retta è minore o maggiore di uno, quindi se si tratta di una frazione propria oppure di una impropria.
Per rappresentare le frazioni proprie, cioè quelle in cui il numeratore è minore del denominatore, basta dividere l’unità in tante parti quante ne indica il denominatore, e di queste considerarne tante quante ne indica il numeratore.
Per rappresentare una frazione impropria, cioè quella in cui il numeratore è maggiore del denominatore, prima scomponi la frazione nell’intero più la parte frazionaria, così capisci dopo quante unità devi disegnarla, quindi procedi come per le frazioni proprie. Oppure, come per le frazioni proprie, dividi l’unità in tante parti quante ne indica il denominatore, e riporta tante parti quante ne indica il numeratore: ovviamente questo andrà oltre l’intero!
Proviamo a rappresentare, per esempio, la frazione $\frac{19}{2}$ : osserva che $\frac{19}{2}=\frac{18}{2}+$ $\frac{1}{2}=9+\frac{1}{2}$, quindi prendi 9 interi e dividi il decimo in 2 parti delle quali ne consideri una sola; oppure puoi dividere l’intero in 2 parti e prendere 19 di queste.