II minimo comune multiplo (m.c.m.) è il più piccolo multiplo comune a due o più numeri.
Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) consiste nel trovare il più piccolo multiplo comune a due o più numeri attraverso la scomposizione in fattori primi.
Scopri tutte le sue proprietà!
Appunti
Il minimo comune multiplo è utile per sommare frazioni con denominatori diversi, in quanto occorre trovare il più piccolo multiplo comune per poterle ridurre tutte allo stesso denominatore.
Prerequisiti per minimo comune multiplo
Prerequisiti per imparare il minimo comune multiplo sono:
- moltiplicazione
- divisione
- scomposizione in fattori
- potenze.
Come calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.)
Per i divisori può essere utile trovare il più grande comune a tutti. Per i multipli invece? Serve trovare il multiplo comune più grande o è meglio trovare il più piccolo?
II minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due (o più) numeri è il più piccolo tra tutti i multipli che hanno in comune.
Per trovare il minimo comune multiplo seguiamo un procedimento simile a quello che abbiamo imparato per il Massimo Comun Divisore:
scomponiamo i numeri in fattori primi; moltiplichiamo i fattori comuni e non comuni prendendoli una volta sola, con l’esponente più grande.
Esempio:m.c.m. $(6,15)=30$ infatti se scomponiamo in fattori primi troviamo $6=2 \cdot 3 e$ $15=3 \cdot 5$. Per trovare il m.c.m. scegliamo i fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande, quindi m.c.m. $(6,15)=2 \cdot 3 \cdot 5=30$.
Non esistono numeri interi che hanno minimo comune multiplo uguale a 1. Però se due (o più) numeri sono primi tra loro, cioè con Massimo Comun Divisore uguale a $1$, allora il minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i numeri.
Esempio: 12 e 7 sono primi tra loro perché M.C.D. $(12,7)=1$, quindi il m.c.m $(12,7)=12$. $7=84$. Non esiste un multiplo più piccolo comune ad entrambi i numeri.
Proprietà e relazioni tra M.C.D. e m.c.m.
II Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo sono legati da alcune relazioni. Scopriamole!
Il prodotto tra il M.C.D. di due numeri e il m.c.m. degli stessi numeri è uguale al prodotto di questi due numeri.
Esempio:M.C.D. $(6,32) \cdot$ m.c.m. $(6,32)=2 \cdot 2^5 \cdot 3=96$. Questo risultato è proprio uguale al prodotto tra $i$ due numeri di partenza, infatti $32 \cdot 6=96$.
Ogni multiplo comune ai due numeri è divisibile per il loro minimo comune multiplo.
Calcoliamo il m.c.m. tra due numeri $a$ e $b$ : se $a$ è un divisore di $b$, allora $b=$ m.c.m. $(a, b)$.
Esempio: consideriamo i due numeri 7 e 35 . Con la scomposizione in fattori primi vediamo che m.c.m.( $(7,35)=$ 35 perché il 35 è un multiplo del 7 .
Per calcolare il m.c.m. tra due numeri, utilizziamo la scomposizione in fattori primi e poi scegliamo i fattori comuni come abbiamo studiato. Ma, per velocizzare i calcoli, possiamo sfruttare la proprietà associativa:
Esempio:m.c.m. $(4,12,28)=$ m.c.m.(m.c.m. $(4,12), 28)=$ m.c.m. $(4$, m.c.m. $(12,28))$