Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) è il più grande divisore comune a due o più numeri.
Scopri come calcolare il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) tra due o più numeri attraverso la scomposizione in fattori primi.
Appunti
A cosa serve trovare il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri?
Numeri diversi possono avere stessi multipli e stessi divisori.
È utile conoscere quali divisori hanno in comune due o più numeri per poter semplificare velocemente numeratore e denominatore di una frazione: se la riduci ai minimi termini vedrai che il numeratore e il denominatore saranno due numeri primi tra loro!
Prerequisiti per imparare il Massimo Comun Divisore
Prerequisiti per imparare il Massimo Comun Divisore:
- moltiplicazione
- divisione
- scomposizione in fattori
- potenze
- proprietà delle potenze con la stessa base
- proprietà delle potenze con lo stesso esponente.
Come calcolare il Massimo Comun Divisore (M.C.D.)
Tra tutti i divisori di un numero è interessante trovare il massimo, cioè il più grande.
II Massimo Comun Divisore (M.C.D.) tra due (o più) numeri è il più grande tra i divisori che hanno in comune.
Per facilitare la ricerca del Massimo Comun Divisore, seguiamo questo procedimento:
scomponiamo i numeri in fattori primi; moltiplichiamo i fattori comuni prendendoli una volta sola, con l’esponente più piccolo.
Esempio:M.C.D. $(36,48)=12$ infatti se scomponiamo in fattori primi troviamo $36=2^2 \cdot 3^2 e$ $48=2^4 \cdot 3$. Per trovare il M.C.D., scegliamo i fattori comuni con l’esponente minore, quindi M.C.D. $(36,48)=2^2 \cdot 3=12$.
Può capitare che due numeri non abbiano nessun divisore comune se non l’1. In questo caso diciamo che i due numeri sono primi tra loro o coprimi. Questo non vuol dire che sono due numeri primi, ma semplicemente che non hanno divisori in comune.
Esempio:M.C.D. $(15,34)=1$ perché scomponendo in fattori primi i due numeri, troviamo che $15=3 \cdot 5$ e $34=2 \cdot 17$. Vediamo che non ci sono divisori comuni, quindi il massimo, nonché l’unico divisore che hanno in comune, è l’1.
II M.C.D. è sempre diverso da 0 perché, come dovremmo avere ormai imparato, non possiamo dividere per 0 .
Proprietà del M.C.D.
Proviamo a capire il Massimo Comun Divisore legandolo alla geometria. Prendiamo due numeri naturali, $a$ e $b$, e disegniamo un rettangolo che ha dimensioni $a \times b$. Possiamo definire il M.C.D. $(a, b)$ come il lato massimo del quadrato che può piastrellare il rettangolo.
Esempio:M.C.D. $(15,6)=3$, quindi, disegnato un rettangolo di dimensioni $15 \times 6$ possiamo ricoprirlo con quadratini che hanno lato di lunghezza 3 .
Ogni divisore comune a due numeri è anche divisore del loro M.C.D..
Calcoliamo il M.C.D. tra due numeri $a$ e $b$ : se $a$ è un divisore di $b$, allora $a=$ M.C.D. $(a, b)$
Esempio: consideriamo i due numeri 7 e 35 . Con la scomposizione in fattori primi vediamo che M.C.D $(7,35)=7$ e m.c.m. $(7,35)=35$ perché il 7 è un divisore del 35 .
Per calcolare il M.C.D. tra due numeri, utilizziamo la scomposizione in fattori primi e poi scegliamo i fattori comuni come abbiamo studiato. Ma, per velocizzare i calcoli, possiamo sfruttare la proprietà associativa:
Esempio: M.C.D. $(4,12,28)=$ M.C.D.(M.C.D. $(4,12), 28)=$ M.C.D.(4, M.C.D. $(12,28))$