Impara a riconoscere la proposizione logica e a distinguere le preposizioni logiche semplici da quelle composte. Impara cos’è la variabile logica, come si ottiene una equivalenza logica e quali sono i principi di verità.
Appunti
Quante volte ti sei sentito dire “è logico!!!”. Ma cosa è la logica? Cosa sono i connettivi logici? Impariamo ora una matematica che ti sembrerà strana, dove le frasi che apparentemente possono non aver senso sono matematicamente vere!
In questa lezione imparerai:
Proposizione logica semplice: è una frase che può essere vera o falsa.
Variabile logica: è una lettera dell’alfabeto (es. A) che utilizziamo per rappresentare un’intera frase.
Valore di verità: quando diciamo che una proposizione logica è vera (V) oppure è falsa (F) stiamo dando a quella frase un valore di verità.
Prerequisiti per imparare le proposizioni logiche
Il prerequisito per imparare le proposizioni logiche è:
Proposizione logica
Una proposizione logica è un’espressione linguistica, cioè una frase, che può essere vera o falsa.
“Il mio gatto è bianco” è una proposizione logica perché guardando il mio gatto posso dire se è vero che è bianco o no. Siccome è bianco allora la proposizione è vera ed è una proposizione logica.
“L’asso di cuori è una carta rossa” è una proposizione logica perché posso dire che è sempre vera e “Tutti i gatti sono neri” è una proposizione logica perché posso dire che è falsa.
Una frase NON è una proposizione logica se NON si può stabilire se è vera o falsa.
Ad esempio “Che si mangia oggi?” oppure “Eureka!”, ed in generale le domande e le esclamazioni, non sono proposizioni logiche perché non posso dire se sono false o se sono vere.
“Forse tu hai un asso”. Il “forse” rappresenta un’indecisione e non posso dire se l’espressione è vera o è falsa.
“Lisbona è una bella città’” non è una proposizione logica perché la bellezza è una qualità soggettiva e quindi non si può dire se la frase è vera o falsa.
Una proposizione logica si dice proposizione semplice se è costituita da un solo predicato.
“Il mio gatto è bianco” è un’espressione semplice perché costituita da un solo predicato “è”.
“Tutti i gatti sono neri”, “Oggi c’è il sole”, “La lampadina è accesa” sono tutte proposizioni logiche semplici perché costituite tutte da un solo predicato.
Variabile logica
Per comodità, indichiamo le proposizioni logiche con una lettera dell’alfabeto che chiamiamo variabile logica.
Ad esempio, indichiamo con la lettera ppp la proposizione “il mio gatto è bianco ed ha la coda”.
Tale proposizione è composta, è vera ed è rappresentata dalla variabile logica $p$.
Altri Esempi:
- La proposizione “tutti i gatti portano la corona” è rappresentata dalla variabile logica qqq ed è falsa
- La proposizione “$7-3=1$” è rappresentata dalla variabile $s$ ed è falsa
- La proposizione “la lampadina è accesa” è rappresentata dalla variabile $r$ ed è vera
- La proposizione “l’asso di cuori è una carta rossa” è rappresentata dalla variabile ccc ed è vera.
La tabella in cui facciamo corrispondere ad ogni variabile logica il suo valore di verità, $V/F$ o $1/0$, si chiama tavola di verità.
Equivalenza logica
Due proposizioni descritte dalle variabili logiche $p$ e $q$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità, ovvero se sono entrambe vere o entrambe false.
$p$ : “La lampadina blu è accesa”
$q$ : “Il mio gatto è bianco”
$$
p=q
$$
Sono entrambe vere e pertanto logicamente equivalenti, anche se non significano la stessa cosa e non si riferiscono ad uno stesso oggetto.
$R$ : “L’asso di cuori è una carta rossa” $V$
$S$ : “Il re di picche è una carta rossa” $F$
$R$ e $S$ non sono logicamente equivalenti in quanto una è vera e l’altra falsa.
$u$ : “Il mio gatto porta la corona.” $F$
$v$ : “Oggi è domenica.” $F$
$u$ e $v$ sono logicamente equivalenti perché entrambe false.
Principi di verità
Una proposizione deve essere necessariamente o vera o falsa. Una eventualità esclude l’altra.
Ad esempio: la proposizione “Alice porta gli occhiali” o è vera (e quindi Alice porta gli occhiali) o è falsa (e quindi Alice non li porta) e non può essere contemporaneamente vera e falsa.
Questo si chiama principio di non contraddizione.
Inoltre, non esiste una terza possibilità: o è vera o è falsa (Alice porta gli occhiali oppure non li porta): non ci sono altre alternative.
Questo si chiama principio del terzo escluso.