L’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la traslazione e la rotazione.
Appunti
Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l’equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all’asse x o all’asse y, o di una rotazione di 90° con centro nell’origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!
Con la prossima lezione imparerai:
- Isometrie: cosa sono e quali sono
- Traslazione: cosa è e quale è l’equazione della trasformazione
- Rotazione: cosa è e quali sono le equazioni di una rotazione in senso orario e antiorario di 90°
Prerequisiti per imparare le isometrie
I prerequisiti per imparare le isometrie sono:
- assi cartesiani
- sistemi lineari
- vettori
Che cos’è un’isometria
Un’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze.
Esistono 4 tipi di isometrie:
- la traslazione;
- la simmetria assiale;
- la simmetria centrale;
- la rotazione.
Le quattro tipologie di isometrie e le loro equazioni
Traslazione:
$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+a \\
y^{\prime}=y+b
\end{array} \quad \vec{v}(a ; b)\right.
$
Simmetria assiale:
$
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{ll}
x^{\prime}=2 a-x & x=a \\
y^{\prime}=y &
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \\
y^{\prime}=2 b-y
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=y \\
y^{\prime}=x
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-y \\
y^{\prime}=-x
\end{array}\right.
\end{array}
$
Simmetria centrale:
$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=2 a-x \\
y^{\prime}=2 b-y
\end{array} \quad C(a ; b)\right.
$
Rotazione:
$
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\left(x-x_c\right) \cos \alpha-\left(y-y_c\right) \sin \alpha+x_c \\
y^{\prime}=\left(x-x_c\right) \sin \alpha+\left(y-y_c\right) \cos \alpha+y_c
\end{array}\right. \\
C\left(x_c ; y_c\right) \alpha
\end{array}
$
Come si riconosce una traslazione
Considera un punto $A(x, y)$ nel piano cartesiano e un vettore $\vec{v}(a, b)$.
Un vettore è caratterizzato da:
- un modulo o intensità (sua lunghezza);
- una direzione (la retta su cui poggia il vettore);
- un verso, che indica l’orientamento.
La traslazione di vettore $\vec{v}$ è la trasformazione geometrica che associa al punto $A(x ; y)$ il punto $A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ del piano cartesiano che coincide con la punta del vettore $\vec{v}$.
I punti $A$ e $A^{\prime}$ sono quindi gli estremi del vettore $\vec{v}$.
La traslazione di vettore $\vec{v}$ si indica con: $\tau_v=$
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+a \\
y^{\prime}=y+b
\end{array}\right.
$$
Che cosa sono le rotazioni
Considera un punto $P$, un punto $O$ e un angolo $\alpha$.
La rotazione di centro $O$ e angolo $\alpha$ è l’isometria che associa a $P$ il punto $P^{\prime}$ in modo da avere:
$P O=P^{\prime} O$
$O$ vertice dell’angolo e centro di rotazione;
l’angolo $P \hat{O} P^{\prime}$ congruente ad $\alpha$.
Le formule generali di questa trasformazione utilizzano le funzioni goniometriche seno e coseno. Vedrai quindi un caso particolare: quello della rotazione di un angolo retto con centro nell’origine degli assi.
Considera il punto $P(x ; y)$ e ruotalo con centro I’origine $O(0 ; 0)$ e di un angolo $\alpha=90^{\circ}$. Il punto $P^{\prime}$ avrà coordinate diverse a seconda che la rotazione sia in senso orario o antiorario:
In senso antiorario: $R_{0,90^{\circ}}=\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-y \\ y^{\prime}=x\end{array} ;\right.$
In senso orario: $R_{0,90^{\circ}}^o=\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=-x\end{array}\right.$.
Rotazioni con centro diverso dall’origine
Nel caso in cui la rotazione sia di un angolo a qualsiasi, le sue equazioni sono:
$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos \cos \alpha-y \sin \sin \alpha \\
y^{\prime}=x \sin \sin \alpha+y \cos \cos \alpha
\end{array}\right.
$
Nel caso in cui la rotazione abbia un centro $C$ qualsiasi di coordinate $C \left(x_C ; y_C\right)$, le sue equazioni sono:
$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\left(x-x_C\right) \cos \cos \alpha-\left(y-y_C\right) \sin \sin \alpha+x_C \\
y^{\prime}=\left(x-x_C\right) \sin \sin \alpha+\left(y-y_C\right) \cos \cos \alpha+y_C
\end{array}\right.
$
Se, date le equazioni di una rotazione, dovessimo determinare le equazioni del centro, considerando che il centro di rotazione è l’unico punto unito della trasformazione, dovremmo procedere con il calcolo ponendo $x$ ‘=x e y’=y.
Se osserviamo la prima equazione, prendendo il coefficiente della x e l’opposto del coefficiente della y, possiamo determinare l’angolo di rotazione.