L’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la simmetria assiale e la simmetria centrale.
Appunti
Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l’equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all’asse $x$ o all’asse $y$, o di una rotazione di $90°$ con centro nell’origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!
Con le prossime lezioni imparerai:
- Simmetria assiale e centrale: cosa sono e quali sono le equazioni generali o particolari di alcune trasformazioni
Simmetrie assiali e simmetrie centrali
Consideriamo una retta $r$ del piano cartesiano e un punto $P$.
La simmetria assiale è l’isometria che associa ad ogni punto $P$ un punto $P^{\prime}$, dalla parte opposta del piano rispetto alla retta $r$, in modo che:
- $P P^{\prime}$ sia perpendicolare a $r$;
- la retta $r$ divida il segmento $P P^{\prime}$ in due parti congruenti.
Per vedere le equazioni della simmetria assiale consideriamo tre esempi fondamentali (che sono anche i più usati!):
- Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse x: $$ S_{r: y=a}=\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x \\ y^{\prime}=2 a-y \end{array}\right. $$
- Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse y: $$ S_{r: x=b}=\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=2 b-x \\ y^{\prime}=y \end{array}\right. $$
- Simmetria rispetto alle bisettrici dei quadranti:
– Bisettrice I e III quadrante: $$S_{r: y=x}= \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=x \end{array}\right. $$ – Bisettrice II e IV quadrante: $$S_{r: y=-x}=\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=-y \\ y^{\prime}=-x \end{array}\right. $$
La simmetria centrale è l’isometria che indica la trasformazione di ogni punto del piano rispetto ad un fissato punto $C$, detto centro della simmetria. Vogliamo trovare il simmetrico del punto $P(x ; y)$ rispetto alla simmetria centrale di centro $C(a ; b)$.
Partiamo con questa costruzione geometrica:
- prendiamo il punto $P(x ; y)$;
- tracciamo la retta che lo congiunge al punto $C$ e il suo prolungamento.
I segmenti $P C$ e $P^{\prime} C$ devono essere congruenti: $C$ è il punto medio del segmento $P P^{\prime}$.
Per $P^{\prime}$ abbiamo allora:
$S_C=\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 a-x \\ y^{\prime}=2 b-y\end{array}\right.$.
Un caso particolare di simmetria centrale è quella in cui il centro di simmetria è l’origine degli assi, cioè il punto $O(0 ; 0)$.