Impara i fondamentali dello studio di funzioni, che cosa sono gli zeri di una funzione e come studiare il segno di una funzione, infine scopri come si classificano le funzioni.
Appunti
L’obiettivo dello studio di funzioni è capire il comportamento della funzione, cioè dei valori della $y$ al variare della $x$ per disegnare il grafico della funzione nel piano cartesiano.
Inizia con la definizione del dominio della funzione e la ricerca degli zeri della funzione. Dopo, bisogna studiare il segno della funzione, cioè capire in quali intervalli la funzione è positiva oppure negativa.
Prerequisiti per imparare lo studio di funzione
I prerequisiti per imparare lo studio di funzione sono:
- dominio e codominio
- risoluzione equazioni numeriche
- disequazioni numeriche
- sistemi lineari.
Cos’è il dominio di una funzione
Il dominio della funzione è l’insieme dei valori che può assumere la variabile $x$ in modo che esista la sua immagine $y=f(x)$.
Per le funzioni numeriche, il dominio coincide con le C.E. dell’espressione della funzione.
Ad esempio, il dominio della funzione $y=\frac{x}{x-2}$ è tutto l’insieme $R$ tranne $x=2$ perché il denominatore sarebbe uguale a 0 . Quindi non esiste l’immagine tramite la funzione di $x=2$ che quindi è escluso dal dominio.
Zeri e segno della funzione
Gli zeri della funzione sono i valori di $x$ del dominio che hanno come immagine $y=0$.
Per trovare gli zeri della funzione, basta risolvere l’equazione $f(x)=0$.
Una funzione può avere un solo zero, come ad esempio la funzione $y=x$, più di uno zero, come la funzione $y=x^2-1$ oppure può non avere zeri, come la funzione $y=x^2+1$.
Calcolare il segno della funzione serve a capire per quali valori la funzione è positiva (quindi il suo grafico sarà sopra l’asse delle ascisse) oppure negativa (e il suo grafico sarà sotto l’asse delle $x$ ).
Per calcolare il segno della funzione, basta risolvere la disequazione $f(x) \geq 0$ e trovare quindi gli intervalli di positività e negatività della funzione.
Una funzione può avere segno costante, cioè essere sempre positiva o sempre negativa in tutto il suo dominio, oppure può avere segno variabile.
Ad esempio, la funzione $y=x^2+1$ è sempre positiva perché $x^2+1$ è maggiore di 0 per ogni $x \in R$ mentre la funzione $y=x^3$ è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$.
Classificazione delle funzioni
Le funzioni numeriche possono essere classificate in base alla loro espressione in forma esplicita $y=f(x)$. Le funzioni sono algebriche se ci sono solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e radici.
Le funzioni trascendenti quelle che non sono algebriche, come ad esempio le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni goniometriche.