Cos’è un insieme? Può essere una collezione di qualsiasi tipo: animali, persone, oggetti colorati… Impara a costruire gli insiemi e scopri tutti i metodi di rappresentazione: grafica, tabulare e per caratteristica. In matematica è importante individuare una proprietà comune a tutti gli elementi per definire un insieme. Scopri tutto quello che serve sapere con video ed esercizi svolti: arriva preparato alla verifica sugli insiemi!
Appunti
In matematica, un insieme è una collezione di oggetti che hanno una caratteristica o una proprietà in comune.
Ci sono tre metodi per rappresentare un insieme: la rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn, la rappresentazione tabulare (o per elencazione) e la rappresentazione per caratteristica. Riconosci a quale insieme appartiene un elemento: utilizza il simbolo di appartenenza $\in$ o non appartenenza $\notin$ per indicare gli elementi che appartengono ad un insieme.
L’insieme universo è quello in cui fare le tue considerazioni su un insieme specifico. L’insieme universo è molto importante per determinare l’insieme complementare. Puoi costruire i sottoinsiemi di un insieme qualsiasi oppure dell’insieme universo stesso.
Gli insiemi possono contenere gli stessi elementi, quindi sono insiemi uguali, oppure non contenere alcun elemento: in questo caso si parla di insieme vuoto $\emptyset$.
Di questa teoria degli insiemi si può leggere qualcosa nelle lettere a una principessa tedesca di Eulero, che si occupa della rappresentazione e della teoria degli insiemi ma non utilizzava simboli per indicarli. Fu Venn a introdurre la simbologia che oggi usiamo anche noi!
Che cos’è un insieme?
In matematica, un insieme è una collezione di elementi che hanno una proprietà in comune. Questa caratteristica deve essere oggettiva, cioè deve essere valida per tutti, accettata da tutti.
Esempi:
- “Tutti i mammiferi” formano un insieme: hanno in comune la caratteristica di essere dei mammiferi
- “Tutti i bambini più simpatici di Piero” invece no: la simpatia è una caratteristica soggettiva, non oggettiva. Piero può essere più simpatico ad alcuni e meno simpatico ad altri.
Ogni volta che si parla di insiemi si pensa alla rappresentazione di Eulero-Venn, la più famosa. Sai che Eulero e Venn sono vissuti in due epoche diverse?
Eulero parlava degli insiemi e della loro rappresentazione scrivendo tutto nelle lettere ad una principessa tedesca. Più tardi, Venn riprese i concetti scritti da Eulero e introdusse i simboli che ora usiamo nella teoria degli insiemi!
Come si rappresenta un insieme?
Esistono diversi modi per rappresentare un insieme:
- Rappresentazione grafica: con il diagramma di Eulero-Venn scriviamo tutti gli elementi di un insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata;
- Rappresentazione per elencazione (o tabulare): elenchiamo tutti gli elementi tra parentesi graffe, separati da una virgola.
Esempio: la rappresentazione per elencazione dell’insieme $A$ delle vocali è $A=${a, e, i, o, u} - Rappresentazione per caratteristica: descriviamo la proprietà comune a tutti i gli elementi dell’insieme. Questo tipo di rappresentazione è comodo per gli insiemi più grandi.
Esempio: $B=${$x \mid x$ è un capoluogo di provincia italiano che si legge: $B$ è l’insieme di tutte le $x$ tali che $x$ è un capoluogo di provincia italiano.
Un elemento appartiene ad un insieme se rispetta la proprietà comune a tutti gli elementi. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme utilizziamo il simbolo $\in$.
Esempio:
Se $A=${a, e, i, o, u} e $B=${$x \mid x$ è un capoluogo di provincia italiano }, possiamo dire che $a \in A$, che si legge $a$ appartiene all’insieme $A$, ma $a \notin B$, cioè $a$ non appartiene all’insieme $B$, perché non è un capoluogo di provincia italiano.
Insieme vuoto e insieme universo
Un insieme è vuoto se non contiene alcun elemento. Si indica con il simbolo $\emptyset$.
Esempio: $B=${$x \mid x$ è un pesce a 6 zampe } è un insieme vuoto: non esistono pesci con 6 zampe!
L’insieme universo è l’insieme che contiene tutto! Cioè è l’insieme da cui ricaviamo l’insieme che vogliamo considerare!
Esempio: Se $A=${$x \mid x$ è un pesce } qual è l’insieme universo da cui lo abbiamo ritagliato? Può essere l’insieme $U=${$x \mid x$ è un animale } oppure l’insieme $U=${$x \mid x$ è un animale che vive nell’acqua }.
L’insieme universo non contiene proprio tutto tutto, ma tutto quello che ci interessa in relazione all’insieme che stiamo analizzando. Utilizzando la rappresentazione caratteristica di un insieme, selezioniamo una parte degli elementi provenienti da un insieme più grande. L’insieme universo contiene l’insieme vuoto e se stesso!
Insiemi uguali, sottoinsiemi e insiemi complementari
Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi.
Esempio: $A=${ cane, gatto, topo } è uguale a $B=${ topo, cane, gatto}. Anche se gli elementi sono in ordine diverso, sono gli stessi in entrambi gli insiemi.
Un insieme $A$ è sottoinsieme di $B$ se tutti gli elementi di $A$ sono anche elementi di $B$. Indichiamo un sottoinsieme così $A \subset B$.
Esempio: $A=${ cane, gatto, topo } e $B=${$x \mid x$ è un mammifero }. Il cane, il gatto ed il topo sono mammiferi, quindi tutti gli elementi di $A$ sono anche elementi di $B$. Allora $A \subset B$.
Consideriamo un insieme universo $U$ e due insiemi $A$ e $B$. Diciamo che $A$ e $B$ sono insiemi complementari se $B$ contiene tutti gli elementi di $U$ che non appartengono ad $A$ e scriviamo $B=A^{\prime}$.
Esempio: U={ cane, gatto, topo, mucca, pecora, asino }. Se A={ cane, gatto, topo }, allora $A^{\prime}$={ mucca, pecora, asino}.