Preparati per l’esame di Matematica dell’Università: scopri cos’è il limite di una funzione e a cosa serve calcolarlo. Impara il concetto di intorno e di limite finito e infinito e quando il limite non esiste.
Appunti
L’analisi matematica è quel ramo della matematica che si occupa dello studio delle funzioni. Imparerai ad analizzare una funzione sotto ogni suo aspetto, saprai come si comporta in ogni suo punto o vicino ai suoi punti, potrai sapere se cresce, decresce o sta ferma senza avere il disegno, potrai fare il disegno a partire da queste caratteristiche e infine potrai applicare lo studio di funzione e tutta l’analisi matematica all’economia, alla fisica ed a tante altre materie.
Per arrivare a fare uno studio di funzione completo devi partire dalle basi. Le basi dell’analisi sono le definizioni di funzione e delle sue caratteristiche. Il primo strumento che ti serve, invece, è il limite. Con il limite riuscirai a capire quando una funzione è continua o discontinua e qual è il suo comportamento vicino ai punti “strani”, che chiameremo di discontinuità.
Prerequisiti per Introduzione ai limiti
I prerequisiti per capire a cosa servono i limiti sono:
Definizione di funzione
Introduzione allo studio di funzione
Perché calcolare i limiti
Il limite è uno strumento matematico che ci permette di capire come si comporta una funzione, cioè cosa succede alla $y$ nel suo grafico vicino a un punto con una certa ascissa $x$.
Si ma a cosa serve il calcolo di limiti? Il limite serve per capire come si comporta, e quindi quali valori assume una funzione vicino a particolari punti del dominio o che non sono nel domino ma sono estremi del dominio.
Quindi i limiti, in generale, sono legati al dominio della funzione.
Nelle funzioni “belle”, cioè quelle in cui “va tutto bene”, i limiti esistono e sono uguali al valore della funzione nel punto. Queste funzioni sono continue, cioè puoi disegnarle senza staccare mai la penna dal foglio.
Ci sono funzioni più “brutte”, in cui accadono cose “strane” (buchi, salti, gradini…), queste funzioni sono discontinue e per sapere come si comportano vicino ai punti strani dobbiamo calcolarne il limite!
Definizione di limite di una funzione
Il concetto di limite è strettamente legato a quello di intorno di un punto. Ma che cos’e?
L’intorno di un punto è l’insieme dei punti che sono “vicini” a quel punto. Possiamo pensarlo come un intervallo (in $\mathbb{R}$ ) aperto contenente il punto.
Ad esempio, l’intervallo $(0,3)$ è un intorno di 2 (ma anche di 1) ma non è un intorno di 0 perché non appartiene all’intervallo.
Quando calcoliamo il limite di una funzione in un punto, possono verificarsi tre casi:
- il limite esiste ed è un valore finito (cioè un numero)
- il limite esiste ma è infinito
- il limite non esiste
In base al questo possiamo definire il comportamento della funzione vicino al punto che ci interessa analizzare.
Risultati possibili nel calcolo di un limite
Ogni volta che devi calcolare il limite di una funzione in un punto, possono verificarsi tre possibili risultati:
- il limite della funzione esiste ed è un numero
- il limite esiste ma è uguale a infinito $(+\infty o -\infty)$
- il limite non esiste
Ma cosa significa che il limite esiste? Quando ci avviciniamo a un punto, possiamo farlo da valori più grandi (cioè da destra) o da valori più piccoli (o da sinistra). Se avviciniamo da entrambi i lati, i valori che assume la funzione sono uguali, allora diciamo che il limite esiste. Altrimenti diciamo che il limite non esiste.
Facile no?