Conosci tutti gli insiemi numerici? Qual è il rapporto tra gli insiemi numerici? È molto importante conoscere come sono fatti gli elementi degli insiemi numerici e le proprietà delle operazioni. Scopri in particolare l’insieme dei numeri reali e le sue proprietà caratterizzanti!
Appunti
Conoscere le proprietà degli insiemi numerici è molto importante per capire bene le proprietà delle funzioni numeriche.
Gli insiemi numerici che studieremo sono:
- l’insieme $N$ dei numeri naturali
- l’insieme $Z$ dei numeri interi
- I’insieme $Q$ dei numeri razionali
- l’insieme $R$ dei numeri reali
In particolare, studieremo le proprietà dell’insieme $R$ : proprietà di completezza, topologia degli intervalli, estremo superiore e inferiore.
Numeri naturali, interi, razionali
Gli insiemi numerici sono (appunto) insiemi, i cui elementi sono numeri. Ma ci sono diversi tipi di numeri e quindi diversi tipi di insiemi:
Insieme dei numeri naturali. $N ={1,2,3, \ldots, n, \ldots}$
Insieme dei numeri interi. $Z ={ \pm n: n \in N } \cup{0}$
Insieme dei numeri razionali. $Q =\left{\frac{m}{n}: m \in Z , n \in N \right}$
Insieme dei numeri naturali
Insieme dei numeri naturali.
Questo insieme può essere scritto nella forma $N ={1,2,3, \ldots, n, \ldots}$.
È un insieme di cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Questo significa che la somma e il prodotto di due numeri naturali è ancora un numero naturale.
Alcuni autori (libri, siti internet) considerano lo 0 un numero naturale, quindi in questi casi avremo $N =$ ${0,1,2, \ldots}$.
Altri invece non considerano lo 0 un numero naturale e per indicare l’insieme dei naturali con lo 0 viene usato questo simbolo $N _0={0,1,2,3, \ldots}$.
L’importante è conoscere quale definizione utilizza l’autore del testo che state leggendo e agire di conseguenza.
Insieme dei numeri razionali
Insieme dei numeri razionali.
L’insieme $Q =\left{\frac{m}{n}: m \in Z , n \in N \right}$ ha cardinalità infinita ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma, prodotto e divisione.
L’insieme dei numeri razionali è denso in sé: significa che per ogni coppia di numeri razionali, è sempre possibile trovare un altro numero razionale che sia compreso tra questi due (pensa al punto medio).
Per come sono definiti, vale la catena di inclusione $N \subseteq Z \subseteq Q$
Ma non tutti i numeri sono contenuti in $Q$. Ad esempio, non esiste nessun numero razionale $c$ tale che $c^2=2$.
Vediamo di dimostrarlo.
Supponiamo, per assurdo, che esista un numero razionale $c=\frac{m}{n}$ tale che $\frac{m^2}{n^2}=2$. Possiamo supporre che $m$ e $n$ siano coprimi tra loro, cioè ridotti ai minimi termini. Questo comporta che $m$ e $n$ non siano entrambi pari (altrimenti potrei semplificare per 2).
Allora vale $m^2=2 n^2$. Quindi, visto che al secondo membro abbiamo un numero pari (perché moltiplicato per 2), anche $m^2$ deve essere pari e di conseguenza anche $m$. Allora possiamo scrivere $m=2 k$ con $k$ numero intero. Sostituiamo nella nostra uguaglianza e abbiamo $4 k^2=2 n^2$, da cui segue $n^2=2 k^2$. Ma allora anche $n$ è un numero pari! Questo però è in contraddizione con la nostra ipotesi. Siamo arrivati a un assurdo. Abbiamo quindi dimostrato la tesi, cioè che non esiste nessun numero razionale $c$ tale che $c^2=2$.
Allora, dobbiamo introdurre un nuovo insieme numerico: l’insieme $R$ dei numeri reali.
L’insieme dei numeri reali
L’insieme dei numeri reali contiene tutti i numeri razionali e tutti i numeri, detti irrazionali, che hanno una successione infinita di numeri dopo la virgola (chiamato anche sviluppo decimale) non periodico, cioè che non si ripete con uno schema preciso.
Ad esempio, $\pi$ e $\sqrt{2}$ sono numeri irrazionali.
L’insieme dei numeri reali è un insieme infinito, ma ha la cardinalità del continuo. Questo significa che ha molti più elementi dell’insieme dei numeri naturali (pur essendo entrambi insiemi infiniti).
Proprietà dell’insieme dei numeri reali. L’insieme $R$ è denso in sé, ma anche l’insieme $R \backslash Q$ è denso in $R$ cioè fra due numeri reali distinti ce n’è uno irrazionale (non appartenente a $Q$ ).
Completezza di $R$. L’insieme dei numeri reali è completo. Cosa significa? Per ogni coppia di sottoinsiemi $A, B \subset R$ , non vuoti e tali che $a \leq b$ per ogni $a \in A$ e per ogni $b \in B$ esiste un $x_0 \in R$ (detto elemento separatore) tale che $a \leq x_0 \leq b$.
Topologia degli intervalli
Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$. Quindi sono intervalli $[0,1),-\infty, 9),(0,+\infty)$.
Vediamo quali sono i tipi di intervalli che possiamo incontrare:
- intervalli limitati: sono quelli del tipo $(a, b)$ con $a, b \in R$. Le parentesi possono essere tonde o quadre, non fa differenza.
- intervalli illimitati superiormente: sono gli intervalli del tipo $(a,+\infty)$ con $a \in R$. La parentesi vicino ad $a$ può essere tonda o quadra. Quella vicino $a+\infty$ è rigorosamente tonda.
- intervalli illimitati inferiormente: sono gli intervalli del tipo $(-\infty, b) \operatorname{con} b \in R$. La parentesi vicino ad $b$ può essere tonda o quadra. Quella vicino $a -\infty$ è rigorosamente tonda.
Ma cosa significano le parentesi tonde o quadre? È facile! la parentesi tonda indica che l’elemento vicino alla parentesi non appartiene all’intervallo. Se invece c’è la parentesi quadra, allora l’elemento appartiene all’intervallo.
ESEMPIO: I’intervallo $[0,1)$ è limitato. Lo 0 appartiene all’insieme (è cioè un suo elemento) ma l’ 1 no perché vicino c’è la parentesi tonda.
Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore
Prendiamo un insieme $A \subseteq R$ e un $x_0 \in R$. Allora:
- $x_0$ è un maggiorante di $A$ se e soltanto se $x_0 \geq a, \forall a \in A$
- $x_0$ è un minorante di $A$ se e soltanto se $x_0 \leq a, \forall a \in A$
- $x_0$ è il massimo di $A\left(x_0=\max A\right.$ ) se e soltanto se $x_0$ è un maggiorante di $A$ e $x_0 \in A$
- $x_0$ è il minimo di $A\left(x_0=\min A\right)$ se e soltanto se $x_0$ è un minorante di $A$ e $x_0 \in A$
- $x_0$ è l’estremo superiore di $A\left(x_0=\sup A\right)$ se e soltanto se $x_0$ è il minimo dei maggioranti di $A$
- $x_0$ è l’estremo inferiore di $A\left(x_0=\inf A\right)$ se e soltanto se $x_0$ è il massimo dei minoranti di $A$
Detto questo, valgono i seguenti teoremi.
Teorema di esistenza dell’estremo superiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente di $R$ ammette estremo superiore.
Teorema di esistenza dell’estremo inferiore. Ogni sottoinsieme non vuoto limitato inferiormente di $R$ ammette estremo inferiore.
ESEMPIO: consideriamo l’intervallo $I=[0,1) \in R$. Abbiamo che:
- I’insieme $A=[1,+\infty)$ è l’insieme dei maggioranti di $I$ : infatti, tutti gli elementi di $A$ sono maggiori o uguali a ogni elemento di $I$. In particolare, 1 è il minimo di questo insieme. Quindi 1 è l’estremo superiore di $I$. Non è però massimo perché $1 \notin I$
- I’insieme $B=(-\infty, 0]$ è l’insieme dei minoranti di $I$ : infatti, tutti gli elementi di $B$ sono minori o uguali a ogni elemento di $I$. In particolare, 0 è il massimo di questo insieme. Quindi 0 è l’estremo inferiore di $I$. Ma $0 \in I$, quindi $0=\min I$