Ora che hai imparato come fare unione e intersezione di insiemi, scopri una nuova operazione tra insiemi: il prodotto cartesiano. Come funziona? E come si rappresenta? Dove hai già sentito l’aggettivo cartesiano? Scopri i legami tra prodotto cartesiano e piano cartesiano.
Appunti
Possiamo dire che l’unione di insiemi è come un’addizione. L’intersezione tra insiemi è un’operazione che permette di trovare gli elementi che gli insiemi hanno in comune. Esiste anche la moltiplicazione tra insiemi? Più o meno sì, è il prodotto cartesiano.
In questa lezione imparerai che operazione è il prodotto cartesiano: gli elementi che fanno parte dell’insieme prodotto cartesiano, non sono elementi singoli, ma sono coppie. Esistono diversi modi per rappresentare il prodotto cartesiano: oltre al diagramma a frecce c’è anche la rappresentazione in tabella o il diagramma cartesiano.
Prerequisiti per imparare il prodotto cartesiano
Prerequisiti per imparare il prodotto cartesiano:
- definizione di insieme;
- operazioni congli insiemi.
Ordiniamo un pranzo con il prodotto cartesiano
Abbiamo imparato come fare unione e intersezione tra due insiemi. Ma esiste un’altra operazione. Come per i numeri, possiamo fare anche la moltiplicazione tra insiemi attraverso il prodotto cartesiano.
Indichiamo questa operazione con un simbolo che ricorda molto quello che utilizziamo per la moltiplicazione tra numeri: $\times$.
Prendiamo due insiemi $A$ e $B$.
II prodotto cartesiano è l’insieme di tutte le coppie $(a ; b)$ con $a \in A$ e $b \in B$. L’insieme di queste coppie è l’insieme $A \times B$ e contiene un numero di elementi pari al prodotto del numero di elementi di $A$ per il numero di elementi di $B$.
Diciamo che la cardinalità – la cardinalità è il numero di elementi di un insieme – dell’insieme prodotto cartesiano è uguale al prodotto delle cardinalità dei due insiemi di partenza.
Esempio:
$A=${1,2,3} e $B=${2,3}. Allora il prodotto cartesiano è l’insieme
$A \times B=${(1 ; 2),(1 ; 3),(2 ; 2),(2 ; 3),(3 ; 2),(3 ; 3)}
Questo insieme contiene 6 elementi, che è proprio uguale al prodotto dei 3 elementi di $A$ per i 2 elementi di $B$.
Gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate. È importante l’ordine degli elementi nella coppia: infatti $(2 ; 3) \neq(3 ; 2)$. Dobbiamo inserire entrambe le coppie nell’insieme prodotto, una non esclude l’altra: coppie diverse forniscono informazioni diverse.
Nell’immagine vediamo il prodotto cartesiano tra due insiemi, uno che contiene dei primi piatti e uno che contiene dei secondi piatti. Si capisce bene che il prodotto cartesiano è I’insieme di tutti i possibili menu che possiamo scegliere componendo le diverse pietanze. Ogni volta che esci a pranzo, fai un prodotto cartesiano. Incredibile, vero?
Come rappresentare il prodotto cartesiano
Esistono diversi modi per rappresentare questa operazione tra insiemi. Corrispondono in parte a quelli che abbiamo già visto per gli insiemi e nell’esempio del primo post:
- rappresentazione con un diagramma a frecce: il prodotto cartesiano è rappresentato dalle frecce che collegano ciascun elemento del primo insieme a ciascun elemento del secondo insieme;
- rappresentazione per elencazione: elenchiamo tutte le coppie che si formano con il prodotto cartesiano;
- rappresentazione per caratteristica: per definizione, l’insieme $A \times B$ è l’insieme delle coppie di elementi tali che il primo appartiene all’insieme $A$ e il secondo appartiene all’insieme $B$, cioè, scritto in linguaggio matematico,
$A \times B=${$(a ; b)$ $ \mid a \in A, b \in B$}
Qual è la novità quindi? Esistono altri modi più intuitivi per rappresentare questa operazione:
- la tabella a doppia entrata: costruiamo una tabella in cui inseriamo gli elementi dei due insiemi e quindi le coppie che si formano con il prodotto cartesiano;
- il diagramma cartesiano: sicuramente il termine cartesiano ti fa tornare in mente il piano cartesiano. Infatti è proprio quello che utilizziamo per questa rappresentazione: posizioniamo sull’asse delle $x$ gli elementi del primo insieme e sull’asse delle $y$ quelli del secondo insieme. II prodotto cartesiano individua dei punti sul piano cartesiano: possiamo infatti vedere le coppie di elementi come le coordinate dei punti sul piano. Ecco l’importanza dell’ordine degli elementi nelle coppie: il punto $(2 ; 3)$ è diverso dal punto $(3 ; 2)$.
Osserva nelle immagini i differenti modi per rappresentare il prodotto cartesiano tra gli insiemi $A=${1,2,3,4} e $B=${5,6}
Proprietà del prodotto cartesiano
Il prodotto tra insiemi è un’operazione simile al prodotto tra numeri. Vediamo alcuni casi particolari.
Cosa succede se dobbiamo trovare il prodotto cartesiano tra un insieme e se stesso? Consideriamo l’insieme $A=$ ${a, b}$ e cerchiamo l’insieme $A \times A$ : funziona esattamente come con i numeri! Stiamo calcolando il quadrato di un insieme.
Infatti:
$$
A \times A=A^2={(a ; a),(a ; b),(b ; a),(b ; b)}
$$
Che insieme è il prodotto cartesiano tra un insieme $A={a, b}$ e l’insieme vuoto $\varnothing$ ? Anche in questo caso funziona come per i numeri. Il risultato di questo prodotto è analogo al risultato del prodotto di un numero per 0 , cioè è uguale allo zero degli insiemi.
$$
A \times \varnothing=\varnothing
$$
Per il prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa: infatti le coppie che si formano con il prodotto cartesiano, sono coppie ordinate di elementi. Invertendo l’ordine dei due insiemi, abbiamo delle coppie diverse.
$$
A \times B \neq B \times A
$$
Valgono poi delle altre proprietà particolari, riconducibili alla proprietà distributiva che abbiamo studiato per i numeri. Le vediamo velocemente:
- $A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)$
- analogamente $(A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)$
- $A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)$
- analogamente $(A \cap B) \times C=(A \times C) \cap(B \times C)$