Scopri come disegnare il grafico della circonferenza nel piano cartesiano.
Devi prima conoscere l’equazione della circonferenza però!
Impara come fare il grafico di una circonferenza partendo dall’equazione e come ricavare l’equazione partendo dal grafico.
Appunti
Tì è mai capitato di disegnare o analizzare il grafico di una circonferenza? O di dover dedurre la sua equazione dal grafico?
In questa lezione imparerai:
- Dall’equazione al grafico: come si disegna il grafico di una circonferenza data la sua equazione
- Casi particolari: grafico della circonferenza se qualche coefficiente è uguale a zero
Prerequisiti per imparare il grafico della circonferenza
I prerequisiti per imparare il grafico della circonferenza sono:
- equazione della circonferenza
- piano cartesiano.
Dall’equazione al grafico della circonferenza
Vediamo come rappresentare sul piano cartesiano l’equazione della circonferenza
$$x^2+y^2+a x+b y+c=0$$
Iniziamo ricordando la relazione tra i coefficienti dell’equazione, il centro e il raggio e ricaviamo da queste relazioni le coordinate del centro e la misura del raggio
$$\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
x_c=-\frac{a}{2} \\
y_c=-\frac{b}{2} \\
r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}
\end{array}\right.
\end{equation}$$
Quindi su un piano cartesiano si riportano le coordinate del centro e, con distanza uguale al raggio traccio la circonferenza.
Grafici Particolari
Se uno o più coefficienti a, b, c sono nulli, possiamo disegnare la circonferenza più facilmente.
- Caso $a=0, b \neq 0$ e $c \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+b y+$ $c=0$
Nell’equazione della circonferenza manca il termine di primo grado di $x$ : il centro sta sull’asse $y$ Il centro ha coordinate $C\left(0 ;-\frac{b}{2}\right)$ e il raggio misura $r=\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ - Caso $b=0, a \neq 0$ e $c \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+a x+$ $c=0$
Questa volta, nell’equazione manca il termine di primo grado in $y$ : il centro sta sull’asse $x$ Il centro ha coordinate $C\left(-\frac{a}{2} ; 0\right)$ e il raggio misura $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-c}$ - Caso $c=0, a \neq 0$ e $b \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+a x+$ $b y=0$
Se $c \neq 0$, la circonferenza passa per l’origine degli assi!
Il centro della circonferenza ha coordinate
$C\left(-\frac{a}{2} ;-\frac{b}{2}\right)$ e il raggio misura $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}}$
Vediamo ora $i$ casi in cui due coefficienti sono $=0$
- Caso $a=0, b=0$ e $c \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+c=0$ È il caso più semplice da disegnare! Non ci sono i termini di primo grado di $x$ e $y$ Il centro è nell’origine $O, C(0 ; 0)$ e il raggio misura $r=\sqrt{-c}$
Attenzione!
Per essere una circonferenza deve valere $c<0$ - Caso $a=0, c=0$ e $b \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+b y=$ 0
La circonferenza passa per l’origine perché $c=0$ Anche $a=0$ quindi il centro sta sull’asse $y$ Le coordinate del centro sono $C\left(0 ;-\frac{b}{2}\right)$ e il raggio misura $r=\sqrt{\frac{b^2}{4}}=\frac{|b|}{2}$ - Caso $b=0, c=0$ e $a \neq 0 \Rightarrow x^2+y^2+a x=$ 0
La circonferenza passa per l’origine perché $c=0$ Anche $b=0$ quindi il centro sta sull’asse $x$ Le coordinate del centro sono $C\left(-\frac{a}{2} ; 0\right)$ e il raggio misura $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{|a|}{2}$