Qual è la differenza tra le funzioni concave e le funzioni convesse? Come capire se una funzione è concava o convessa? Scopri come usare le combinazioni lineari convesse per capire le proprietà della funzione che stai studiando!
Appunti
Se parliamo di concavità e convessità, forse ti viene subito in mente la geometria. Anche nell’analisi matematica, quando si parla di funzioni, possiamo usare queste due parole.
Una funzione può essere, in un certo intervallo III, concava oppure convessa. Per capire di che tipo si tratta, dobbiamo fare ricorso al concetto di combinazione lineare.
Dal grafico di una funzione, possiamo subito vedere se una funzione è concava o convessa in un certo intervallo:
- la funzione è convessa se guarda verso l’alto
- la funzione è concava se invece guarda verso il basso
Prerequisiti per Funzione concava e convessa
I prerequisiti per imparare a riconoscere funzioni concave e convesse sono:
Definizione di funzione
Proprietà delle funzioni
Funzione inversa e funzione composta
Cos’è una combinazione lineare convessa
Prendiamo un insieme di elementi (tutti dello stesso tipo) $x_1, x_2, \ldots, x_n$ e un insieme di numeri reali $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ tali che:
- $0 \leq \lambda_k \leq 1$ per ogni $k$;
- $\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1$.
Allora, l’oggetto $\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_n x_n$ è chiamato combinazione lineare convessa degli elementi $x_1, \ldots, x_n$.
ESEMPIO: prendiamo due numeri reali $a<b$ e costruiamo una loro combinazione convessa. Abbiamo quindi bisogno di $\lambda_a$ e $\lambda_b$, maggiori o uguali a 0 tali che $\lambda_a+\lambda_b=1$, cioe $\lambda_b=1-\lambda_a$.
Allora una combinazione lineare convessa di $a$ e $b$ è
$$
\lambda_a a+\left(1-\lambda_a\right) b
$$
$\operatorname{con} \lambda_a \in[0,1]$. Cosa rappresenta? Al variare di $\lambda_a \in[0,1]$ la combinazione lineare convessa $\lambda_a a+\left(1-\lambda_a\right) b$ rappresenta tutti i valori compresi nell’ intervallo $[a, b]$.
Funzioni concave e convesse
Usiamo il concetto di combinazione lineare complessa per definire le funzioni convesse.
Una funzione $f$ è convessa in un intervallo $I$ se $\forall a, b \in I, \forall t \in[0,1]$ vale la disuguaglianza $f((1-t) a+$ $t b) \leq(1-t) f(a)+t f(b)$.
Cosa significa? Analizziamo la disuguaglianza: a sinistra abbiamo la funzione valutata nel punto $(1-t) a+t b$ che è sicuramente un punto compreso tra $a$ e $b$ perché, al variare di $t \in[0,1]$, è proprio la combinazione convessa di $a$ eb. A destra invece, abbiamo la combinazione convessa dei valori $f(a)$ e $f(b)$. Quindi al variare di $t$ abbiamo tutti $i$ punti compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.
Quindi una funzione è convessa in un intervallo $I$ se comunque presi due punti $a, b$ all’interno dell’ intervallo, il grafico della funzione sta sotto il segmento che unisce i punti $(a ; f(a)) \mathrm{e}(b ; f(b))$.
Una funzione $f$ è concava in un intervallo $I$ se $\forall a, b \in I, \forall t \in[0,1]$ vale la disuguaglianza $f((1-t) a+t b) \geq$ $(1-t) f(a)+t f(b)$.
Quindi una funzione è concava se il suo grafico sta sopra il segmento che unisce i punti $(a ; f(a))$ e $(b ; f(b))$.
Esercizio svolto sulle funzioni convesse
Consideriamo la funzione $f(x)=x^2-1$ nell intervallo $I=[0,2]$. Questa funzione è concava o convessa nell’intervallo $I$ ?
Per rispondere, costruiamo la combinazione convessa di due punti $x, y \in[0,2], x<y$ : $(1-t) x+t y$, con $t \in$ $[0,1]$.
Sappiamo che la funzione è convessa se vale la disuguaglianza $f((1-t) x+t y) \leq(1-t) f(x)+t f(y)$.
Dobbiamo quindi calcolare le quantità a sinistra e a destra del segno di disuguaglianza e verificare se è vera oppure no.
- a sinistra abbiamo $f((1-t) x+t y)=[(1-t) x+t y]^2-1=(1-t)^2 x^2+t^2 y^2+2 t(1-t) x y-1$;
- a destra abbiamo $(1-t) f(x)+t f(y)=(1-t)\left(x^2-1\right)+t\left(y^2-1\right)=(1-t) x^2+t y^2-1$.ù
Ora confrontiamole! Vediamo se vale la disuguaglianza per ogni $x, y \in[0,2]$ e per ogni $t \in[0,1]$ :
$$
\begin{aligned}
& (1-t)^2 x^2+t^2 y^2+2 t(1-t) x y-1 \leq(1-t) x^2+t y^2-1 \rightarrow \
& x^2\left[(1-t)^2-(1-t)\right]+y^2\left(t^2-t\right)+2 x y\left(t-t^2\right) \leq 0 \rightarrow \
& x^2\left(t^2-t\right)+y^2\left(t^2-t\right)-2 x y\left(t^2-t\right) \leq 0
\end{aligned}
$$
dove abbiamo cambiato il segno nell’ultimo addendo per avere lo stesso fattore $\left(t^2-t\right)=t(t-1)$. Ora raccogliamo proprio questo fattore:
$$
t(t-1)\left(x^2+y^2-2 x y\right) \leq 0 \rightarrow t(t-1)(x-y)^2 \leq 0 .
$$
Vediamo che il prodotto $t(t-1)$ è minore o uguale di 0 per ogni $t \in[0,1]$, mentre $(x-y)^2 \geq 0$ perché è un quadrato. Quindi la disuguaglianza è sempre verificata. Allora possiamo dire che la funzione $f(\bar{x})=x^2-1$ è convessa nell’intervallo $[0,2]$.