Preparati per l’esame di Matematica dell’Università. Impara cos’è una funzione inversa e quali funzioni hanno la funzione inversa. Scopri che cos’ è una funzione composta e come comporre due o più funzioni.
Appunti
Una volta che abbiamo una funzione $f: A \rightarrow B$ esiste una funzione che “torna indietro”? Cioè esiste una funzione che va da $B$ ad $A$ ?
Quando questa funzione esiste, si chiama funzione inversa.
Possiamo anche comporre due o più funzioni. Ma cosa significa “comporre le funzioni”? Significa creare una nuova funzione che ha il dominio della prima funzione e il codominio della seconda. L’espressione è “un’unione delle espressioni” delle funzioni usate nella composizione.
Prerequisiti per Funzione inversa e funzione composta
I prerequisiti per imparare cosa sono funzione inversa e funzione composta sono:
Definizione di funzione
Proprietà delle funzioni
Funzione inversa
La funzione inversa è una funzione che ha:
- dominio uguale al codominio della funzione di partenza
- codominio uguale al dominio della funzione di partenza
Le funzioni che ammettono funzione inversa sono quelle biunivoche, perché c’è una corrispondenza uno a uno tra gli elementi del dominio e del codominio (che coincide con l’insieme di arrivo perché suriettiva). Quindi se $f: A \rightarrow B$ è biunivoca, la funzione inversa $f^{-1}: B \rightarrow A$ associa a ogni elemento $y$ di $B$ l’elemento $x$ di $A$ tale che $y$ è immagine di $x$ tramite $f$ Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla retta $y=x$ (bisettrice del I e III quadrante).
Funzione composta
La funzione composta è ottenuta a partire da due (o più funzioni) semplicemente applicando prima una funzione e poi l’altra.
Ad esempio, componiamo le funzioni $f(x)=x+1$ e $g(x)=x^2$.
- partiamo da $x$ e applichiamo la $f: x \rightarrow x+1$
- ora applichiamo la $g: x+1 \rightarrow(x+1)^2$
e abbiamo la nuova funzione composta $h(x)=$ $g(f(x))=(x+1)^2$
Possiamo scrivere $h=g \circ f$ : prima applichiamo la $f$ e poila $g$
Attenzione! L’ordine è importante. Infatti in generale $g \circ f \neq f \circ g$